令t＝f（x），
∴t﹣at+b＝0有2个不同的正实数解，
①其中一个为在（0，1）上，一个在（1，2）上；
2
所以，
②其中一个根为0，另一个根为1， 所以a＝1，b＝0
其对应的平面区域如下图所示：
则表示点（a，b）与（0，0）连线的斜率， 所以
[0，），
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知曲线y＝ax3+x2﹣a在（1，1）处的切线过点（2，6），那么实数a＝ 1 ．
322
【解答】解：由y＝ax+x﹣a，得y′＝3ax+2x，
∴y′|x＝1＝3a+2，
32
则曲线y＝ax+x﹣a在（1，1）处的切线方程为y﹣1＝（3a+2）（x﹣1），
把点（2，6）代入，得6﹣1＝3a+2，即a＝1． 故答案为：1． 14．设向量＝（是 ﹣2
．
，1），＝（x，﹣3），
，
，1），＝（x，﹣3），且⊥，则向量﹣在向量方向上的投影
【解答】解：根据题意，向量＝（若⊥，则?＝则﹣＝（0，4）， 则有（﹣）?＝﹣12， 故向量﹣在向量方向上的投影故答案为：﹣2
．
x﹣3＝0，解可得x＝
＝＝﹣2；
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
．
【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，0，0），B1（0，0，1），C1（0，1，1），
＝（﹣2，0，1），
＝（0，1，1），
设异面直线AB1与BC1所成角为θ， 则cosθ＝
＝
＝
．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故答案为：
．
．
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，则 （1）S3＝ 4a ；
Sn＜2019恒成立，（2）如果对?n∈N*，那么线段AB的长度a的取值范围是 （0，] ．
【解答】解：（1）由题意，得图1中的线段为a，S1＝a， 图2中的正六边形边长为a，S2＝S1+a×4＝S1+2a＝3a； 图3中的最小正六边形的边长为a， S3＝S2+a×4＝S2+a＝4a；
（2）图4中的最小正六边形的边长为a， S4＝S3+a×4＝S3+a， 由此类推，Sn﹣Sn﹣1＝
a，n≥2，
因为Sn＝S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（Sn﹣Sn﹣1）
＝a+2a+a+a+…+a＝a+
＝a+4a（1﹣）＜5a，
对?n∈N*，Sn＜2019恒成立，可得2019≥5a， 即0＜a≤
．
]．
故答案为：4a，（0，
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）＝x2+x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列
的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
22
【解答】解：（1）∵点（n，Sn）在f（x）＝x+x的图象上，∴Sn＝n+n．①，2
当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）+（n﹣1）．②，
①﹣②，得an＝n．
当n＝1时，a1＝S1＝+＝1，符合上式， ∴an＝n． （2）由（1）得∴Tn＝
+
+
＝
+…+
＝（﹣
﹣
）+×（﹣
），
＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（
）
＝（1+﹣＝﹣（
+
﹣） ）＜．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥面ABC，D，E分别是AC，CC1
的中点．
（1）求证：AE⊥平面A1BD； （2）求三棱锥B1﹣ABE的体积．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝BC＝CA，D是AC的中点， ∴BD⊥AC，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC， ∴BD⊥平面AA1C1C，
∵AE?平面AA1C1C，∴BD⊥AE．
又∵在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点， ∴A1D⊥AE，
又A1D∩BD＝D，∴AE⊥平面A1BD． （2）解（割补法）：＝S△ABC×AA1﹣＝
﹣
＝
×BD ＝
．
﹣VB﹣ACE﹣
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
