2019-2020学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷
（文科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．已知集合P＝（﹣∞，1]∪（4，+∞），Q＝{1，2，3，4}，则（?RP）∩Q＝（ ） A．{1，4} 2．已知复数A．z的虚部为i C．z2为纯虚数
B．{2，3}
C．{2，3，4}
D．{x|1≤x＜4}
，则下列结论正确的是（ ）
B．|z|＝2 D．z的共轭复数
3．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7﹣S2＝45，则a5＝（ ） A．7
B．9
C．14
D．18
5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．c＜b＜a
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
6．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（A．﹣1
）＝（ ）
B．﹣
C．
，则
D．1 ＝（ ） D．
7．在△ABC中，AM为BC边上的中线，点N满足A．
8．已知tan（α+A．
B．
C．
）＝﹣2，则sin2α＝（ ）
B．
C．﹣
D．﹣
9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜说法正确的是（ ）
）的部分图象如图所示，下列
A．f（x）的图象关于直线B．f（x）的图象关于点C．将函数
D．若方程f（x）＝m在
对称
对称 的图象向左平移
个单位得到函数f（x）的图象
上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．4π B．9π C． D．12π
11．设数列{an}满足a1＝2，且an+1＝an+2（n+1），若[x]表示不超过x的最大整数，（例如[1.6]＝1，[﹣1.6]＝﹣2）则[A．2020
B．2019
]+[
]+……+[
C．2018
]＝（ ）
D．2017
12．已知函数f（x）＝
2
方程[f（x）]﹣af（x）+b＝0有5个不同的
实根，则取值范围是（ ） A．（0，）
B．[0，）
C．（0，1）
D．[0，1）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知曲线y＝ax3+x2﹣a在（1，1）处的切线过点（2，6），那么实数a＝ ． 14．设向量＝（是 ．
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
，1），＝（x，﹣3），且⊥，则向量﹣在向量方向上的投影
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，则 （1）S3＝ ；
（2）如果对?n∈N*，Sn＜2019恒成立，那么线段AB的长度a的取值范围是 ．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）＝x2+x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列
的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥面ABC，D，E分别是AC，CC1
的中点．
（1）求证：AE⊥平面A1BD； （2）求三棱锥B1﹣ABE的体积．
19．汕头市有一块如图所示的海岸，OA，OB为岸边，岸边形成120°角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：
OB上分别取点E，F，方案l：在岸边OA，用长度为1km的围网依托岸边围成三角形EOF（EF为围网）．
方案2：在∠AOB的平分线上取一点P，再从岸边OA，OB上分别取点M，N，使得∠MPO＝∠NPO＝θ，PN为围网） 用长度为1km的围网依托岸边围成四边形PMON（PM，．记三角形EOF的面积为S1，四边形PMON的面积为S2．请分别计算S1，S2的最大值，并比较哪个方案好．
20．设椭圆＝0的圆心．
22
（a＞b＞0）的左焦点为F1，离心率为．F1为圆M：x+y+2x﹣15
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围． 21．已知函数f（x）＝xcosx﹣2sinx+1，g（x）＝x2eax（a∈R）． （1）证明：f（x）的导函数f'（x）在区间（0，π）上存在唯一零点；
（2）若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得g（x1）≤f（x2），求实数a的取值
范围．
注：复合函数y＝e的导函数y'＝ae．
请考生从第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ＝4
．
ax
ax
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求[选修：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣1|． （1）解不等式
；
，求
的最小值．
的值．
（2）若正数a，b，c，满足
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
