【精品】2020年高考数学总复习专题讲义★☆
一．方法综述
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围． 二．解题策略
类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆圆A．【答案】D 【解析】
解：设椭圆的左焦点为则故要求即求圆所以
的最小值， 的最小值，
的半径为2
的最小值等于的最小值为
，故选D.
，
B．
上，则
C．
的最小值为（ ）
D．
上，的右焦点为，点在
【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，
1
从而解决问题.
2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷． 【举一反三】
1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数
，则
A．
B．2
C．
D．4
满足，
的最大值为（ ）
【答案】D 【解析】 设点
在圆
上，且
，
距离之和的
倍的最大值，
原问题等价于求解点A和点C到直线
如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线作取
直线的中点，作
于点，直线
直线于点， ， 方程为，
，
下方， 于点，
由梯形中位线的性质可知当
直线
时，直线
两平行线之间的距离：由圆的性质综上可得：本题选择D选项. 2.点动，则
分别为圆
的最小值为（ ） ，
的最大值.
与圆上的动点，点在直线上运
2
A．7 【答案】A 【解析】 设圆 是圆
B．8 C．9 D．10
关于直线
，可得当点 位于线段
对称的圆，可得 上时，线段
,圆的方程为
的长就是圆 与圆上两个动点之间的距离
,圆的半径为，因此
的最小值为 ，所以A
最小值，此时的最小值为，,圆的半径为
，∴
选项是正确的.
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围 【例2】抛物线坐标原点，【答案】【解析】因为点
．当
时，
的内切圆与
在抛物线上，所以，故
舍去，所以抛物线方程为
，点A到准线的距离为
∴
，解得，所以
或
上一点
到抛物线准线的距离为
，点关于轴的对称点为，为的取值范围为__________．
切于点，点为内切圆上任意一点，则
是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（
为参数），则，∴．
3
【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．
【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线（ ） A．
B．
C．
D．
与椭圆：
相交于，两点，为坐标原点.当
的面积取得最大值时，
为等边三角形和内切圆
，
【答案】A 【解析】
由，得.
设，，则，，
又到直线
的距离
，
.
则的面积 ，
当且仅当此时，故选A.
，即
.
时，的面积取得最大值.
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类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围
【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（ ） A．（0，1） 【答案】D 【解析】 圆与直线联立整理得
图像有两个交点
方程有两个不同的实数根，即
，
B．（0，2）
C．（﹣1，0）
D．（﹣2，0）
得圆
.
都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交
点在第一象限，一个交点在第四象限.
，解得
故选D项. 【指点迷津】圆
都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，
，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.
，
即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到
x2y2【举一反三】已知直线y??x?1与椭圆2?2?1?a?b?0?相交于A,B两点，且OA?OB（O为坐
ab标原点），若椭圆的离心率e??,?13??，则a的最大值为___________． 22??【答案】10 2 5
类型四 利用基本不等式求范围
【例4】如图，已知抛物线y?4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆?x?1??y2?221于点4A,B,C,D四点，则AB?4CD的最小值为（ ）
A．
17151311 B． C． D． 2222【答案】C
【解析】由题意得F?1,0?，即为圆的圆心，准线方程为x??1． 由抛物线的定义得AF?xA?1，又AF?AB?同理CD?xD?11，所以AB?xA?． 221． 2①当直线l与x轴垂直时，则有xA?xD?1， ∴AB?4CD?3315?4??． 2226
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y?k?x?1?， 由{y?k?x?1?y2?4x 消去y整理得k2x2??2k2?4?x?k2?0，
2k2?4∴xA?xD?1,xA?xD?，
k2∴AB?4CD?xA?4xD?综上可得AB?4CD?5513?24xAxD??，当且仅当xA?4xD时等号成立． 22213．选C． 2【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件． 【举一反三】【
1.河南省安阳市2019届高考一模】已知双曲线
的圆心，且双曲线C的渐近线方程为
别为双曲线C的左、右焦点，则当A．2 【答案】B 【解析】 由圆Ω：
双曲线C的渐近线方程为且解得设
，，可得，
，
，
，当且仅当
可得故选：B．
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的一个焦点恰为圆Ω：
．点P在双曲线C的右支上，，分
＝（ ）
D．8
取得最小值时，
C．6
B．4
的圆心（2，0），可得焦点
，可得
，
，，
时取等号，
．
2.【四川省凉山州市2019届高三第二次诊断】已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，
，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则
的最小值为___．
【答案】8 【解析】 设设直线为
，
,联立直线和抛物线得到
,同理联立直线和抛物线得到
由抛物线的弦长公式得到代入两根之和得到
，已知
，
故答案为：8.
类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值 【例5】【上海市交大附中2019届高考一模】过直线切点分别为【答案】【解析】 ∵点为直线则过化简可得
与已知圆的方程相减可得由直线
的方程为
上的任意一点，∴可设的圆的方程为
，
的方程为
，
， ，
， 上任意点向圆
作两条切线，
，两根之和为：
，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．
联立两直线方程可解得，，
故线段的中点，
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【精品】2020年高考数学总复习专题讲义★☆专题5.3 解析几何中的范围问题 (解析版)
