电磁场理论习题
一
1、求函数?=xy+z-xyz在点（1，1，2）处沿方向角向导数.
?=?3，
???4，
???3的方向的方
??解：由于?xM=y－
yzM= -1
=0
???y???zM=2xy－
xz(1,1,2)M=2z
?xy(1,1,2)=3
cos??所以
211cos??cos??2，2，2
???lM?
2、求函数?＝xyz在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。
解：指定方向l的方向矢量为
l＝(9－5)ex+(4－1)ey+(19－2)ez ＝4ex+3ey+17ez
其单位矢量
??????cos??cos??cos??1?x?y?z
l??cos?ex?cos?ey?cos?ez????x???lM4314Mex????zM3314ey?M7314
ez?yz(5,1,2)?2,???y
M?xz?10,?xy?5所求方向导数
M?3、已知?=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。 解：由于??=(2x+y+3)ex+(4y+x-2)ey+(6z-6)ez
(0,0,0)=3e-2e-6e所以，xyz4、运用散度定理计算下列积分：
??????123cos??cos??cos?????l???x?y?z314
????(1,1,1)=6ex+3ey
2232I=ò[xze?(xy?z)e?(2xy?yz)ez]gdsxy??sS是z=0 和 z=(a2-x2-y2)1/2所围成的半球区域的外表面。
解：设：A=xz2ex+(x2y-z3)ey+(2xy+y2z)ez 则由散度定理可得
?ò??Ag ds=????gAdvs?
?I?????gAdv????(z2+x2+y2)dv????r2dv?
??2??0??20a0rsin?drd?d???d??sin?d??02042??a05、试求▽·A和▽×A:
(1) A=xy2z3ex+x3zey+x2y2ez
25??ardr5
422A(?,?,z)??cos?e??sin?ez ?(2)
11A(r,?,?)?rsin?er?sin?e??2cos?e?rr(3 )
解：（1）▽·A=y2z3+0+0= y2z3
ex??x23xyz▽×A=eyez???(2x2y?x3)ex?(2xy2?3xy3z2)ey?y?zx3zx2y2
?A?(?Az)1?[(?A?)???]???z(2) ▽·A=??? 1??[(?3cos?)?(?3sin?)]??=???=3?cos?
????2?cos?▽×A==
?cos?e??2?sin?e???sin?ez=
e?1????A??e?????A?ez??zAze?1?e????0ez??z?2sin?
?A??(sin?A?)?(r2Ar)1[sin??r?r]2?r???? (3)▽·A=rsin?sin2?cos??()?(2)31?(rsin?)rr[sin??r?r]2?r????=rsin? 1222[3rsin??2sin?cos?]?3sin??cos?22rsin?r=
▽×A=
er1?r2sin??rArre????rA?rsin?e????rsin?A?er1r2sin?=
re????sin?rsin?e????1sin?cos?r
??rrsin?cos2?cos?e?e??cos?e?r33r=rsin?
习题二
1、总量为q的电荷均匀分布于球体中，分别求球内，外的电场强度。
解: 设球体的半径为a，用高斯定理计算球内，外的电场。由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。
在球外，r>a，取半径为r的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：
?D?dS??s0Er4?r2?q4??0r2
对球内，r Er?q ?D?dS??s0Er4?r2?q'3 q'? 434qrq?r???r3?34333a?a3 rq4??0a3 Er? 2、半径分别为a,b(a>b),球心距为c（c 解：为了使用高斯定理，在半径为b的空腔内分别加上密度为+ρ和—ρ的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。 正电荷在空腔内产生的电场为 E1??r1er3?0 1负电荷在空腔内产生的电场为 单位向量er1，er2分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。考虑到 E2???r2er3?02最后得到空腔内的电场为 r1er1?r2er2?cex?c ?cE?e3?0x 3、一个半径为a的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内,外的电场强度。 解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有 r?2D?dS??E2?rl?q,q???rl,E?0?s2?0 计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有 ?a2?sD?dS??0E2?rl?q,q???al,E?2r?0 2 4、一个半径为a 的均匀带电圆盘，电荷面密度是ρs0,求轴线上任一点的电场强度。 解：由电荷的电荷强度计算公式 dS'34??0?r?r's 及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量。代入场点 E(r)?1?s(r')(r?r')源点 r?zex r'?exr'cos??eyr'sin? 电场的z向分量为 dS?r'dr'd? ??s02?azr'dr'?s0?zE?d??1?221/2??4??0?(z2?r'2)3/22?0??(a?z)? 00上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z向量为 E??z?s0(1?2)21/22?0(a?z) 5、已知半径为a的球内,外电场分布为 ??a?2?E0???r??r?E??2??r???r?E0???a???D?? r?ar?a 求电荷密度. 解:从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式: 用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出 r?a时:r?a时:???0 3E01?2r??rar2?r1?2???2r?r?0?r0r ????6、求习题2-1的电位分布 解：均匀带电球体在球外的电场为 2q/4??r0 Er= 球内电场为 Er?rq/4??0a3 球外电位(r> a)为 ???Edr??q/4??0r2dr?q/4??0rrr??球内电位(r?a)为 ?a3?r ???Edr??rq/4??0adr??q/4??0r2dr?q/4??0a3a2/2?r2/2?q/4??0a?r?a ?q/8??0a(3a?r) 3223ql247、电荷分布如图所示。试证明，在r>>l处的电场为E=2??0r 1q2证明:用点电荷电场强度的公式及叠加原理,有E=4??0((r?l)当r>>l时, q2q2r2+(r?l)) 111ll2l2(1?2?32??)(r?l)2=(1?r)?r2rr 1111ll2l2r2(1?2?32??)(r?l)2=(1?r)?r2rr 1r2
电磁场理论习题
