弹性力学简明教程(第四版)-第三章-课后作
业题答案
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第三章 平面问题的直角坐标解答
【3-4】试考察应力函数??ay3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)
Oxhyl图3-8【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值，应力函数??ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数?代入公式(2-24)，得
?x?6ay,?y?0,?xy??yx?0
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；
当a>0时，考察?x分布情况，注意到?xy?0，故y向无面力 左端:fx?(?x)x?0?6ay ?0?y?h? fy???xy?x?0?0
右端:fx???x?x?l?6ay (0?y?h) fy?(?xy)x?l?0 应力分布如图所示，当l主矢，主矩
Oh时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为
A xfxyfx
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：
eePP因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：
ppe(?x)A??2?0?e?h/6bhbh/62
同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。
Fxy(3h2?4y2)，能满足相容方程，并求出32h应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界
【3-6】试考察应力函数??上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
Oh/2h/2xyl图3-9(lh)【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
?4??4??4??222?4?0，显然满足 4?x?x?y?y（2）将?代入式（2-24），得应力分量表达式
3F4y212Fxy(1?2) ?x??,?y?0,?xy??yx??32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： h①在主要边界上（上下边界）上，y??，应精确满足应力边界条件式
2（2-15），应力??y?y??h/2?0,??yx?y??h/2?0
因此，在主要边界y??h?h???fx?y????0,fy?y????0
2?2???h上，无任何面力，即2②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：
3F?4y2?x?0:fx?0,fy??1-?
2h?h2?x?l:fx??12Flyh33F?4y2?,fy???1?2?
2h?h?因此，各边界上的面力分布如图所示：
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