物线y＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 36108C.
－＝1 10836
2
x2y2
B.－＝1 927D.
－＝1 279
x2y2
x2y2x2y2
x2y22
解析 由双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，可设双曲线的方程为xabx2y22
－＝λ(λ＞0).因为双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y＝24x的准线上，3ab所以(－6，0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，所以λ＝9，所以双曲线的方程为－＝
9271. 答案 B
思维升华 本题利用共渐近线系双曲线方程，使问题得到解决，避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，达到了事半功倍的效果.
【训练4】 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x＋y＋6x－4＝0和x＋y＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( ) A.x＋y－x＋7y－32＝0 C.x＋y－4x＋4y＋9＝0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2
x2y2
B.x＋y－x＋7y－16＝0 D.x＋y－4x＋4y－8＝0
2
2
2
2
22
解析 根据题意，所求圆经过两圆x＋y＋6x－4＝0和x＋y＋6y－28＝0的交点，设其方程为(x＋y＋6x－4)＋λ(x＋y＋6y－28)＝0，变形可得(1＋λ)x＋(1＋λ)y＋6x＋6λy－433λ?3???，－－28λ＝0，其圆心为?－，又其圆心在直线x－y－4＝0上，则?－??－
1＋λ??1＋λ?1＋λ?
2
2
2
2
2
2
?－3λ?－4＝0，解得λ＝－7，则所求圆的方程为－6x2－6y2＋6x－42y＋192＝0，即x2＋
?1＋λ???
y2－x＋7y－32＝0.
答案 A
分层限时训练
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知点F是抛物线y＝2x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝4，则线段
2
MN的中点的横坐标为( )
3A. 2
B.2
5C. 2
D.3
1?1?2
解析 ∵点F是抛物线y＝2x的焦点，∴F?，0?，准线方程为x＝－，设M(x1，y1)，N(x2，
2?2?
y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋＋x2＋＝4，∴x1＋x2＝3，∴线段MN中点的横坐标为.
答案 A
1
21232
x2y2
2.已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若
abAB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为( )
A.＋＝1 4536C.＋＝1 2718
x2x2
y2y2
B.＋＝1 3627 D.＋＝1 189
x2x2
y2
y2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??
则x＋x＝2，y＋y＝－2，?
xy??a＋b＝1，②
1
2
1
2
2
22
222
x2y211
2＋2＝1，①ab（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）
①－②得＋＝0， 22
aby1－y2b2（x1＋x2）b2所以kAB＝＝－2＝. x1－x2a（y1＋y2）a2
0＋11b1
又kAB＝＝，所以2＝.
3－12a2
又9＝c＝a－b，解得b＝9，a＝18， 所以椭圆E的方程为＋＝1.
189答案 D
3.(2020·黄冈模拟)设D为椭圆x＋＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD至点P，
5使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为( ) A.x＋(y－2)＝20 C.x＋(y－2)＝5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
y2
B.x＋(y＋2)＝20 D.x＋(y＋2)＝5
2
2
22
解析 ∵D为椭圆x＋＝1上一点，且易知A，B为椭圆的焦点，∴|DA|＋|DB|＝2a＝25.
5又|PD|＝|BD|，∴|PA|＝|PD|＋|DA|＝25，∴点P的轨迹方程为x＋(y＋2)＝(25)＝20.故选B. 答案 B
4.已知直线l：x＋y＝3与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在椭圆＋y＝1上运动，则△PAB2
2
2
2
y2
x2
2
面积的最大值为( ) A.6 C.
3（3－3）
2
B.D.
3（3＋2）
23（3＋3）
2
|2cos θ＋sin θ－3|
解析 设点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，则P到AB的距离为＝2|3sin（θ＋φ）－3|
2
≤
3（3＋3）
. 2
1
，所以△PAB的面积为S＝×3
2
|3sin（θ＋φ）－3|
2
2×
答案 D
5.已知F为抛物线C：y＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，
2
B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16
2
B.14 C.12 D.10
解析 抛物线C：y＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直11
线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为－，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1).
kk??y＝4x，2222由?消去y得kx－(2k＋4)x＋k＝0. ?y＝k（x－1），?
2
2k＋44设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2＝2＋2，
2
kk4
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋2.
k同理得|DE|＝4＋4k，
42
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k＋2≥8＋216＝16.
2
k12
当且仅当2＝k，即k＝±1时取等号.
k故|AB|＋|DE|的最小值为16. 答案 A 二、填空题
6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________. 解析 ∵c＝23，a＝4b，∴a－b＝3b＝c＝12，
2
2
2
2
2
2
b2＝4，a2＝16.又焦点在y轴上，
∴标准方程为＋＝1.
164答案
＋＝1 164
2
y2x2
y2x2
7.(一题多解)过抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点(其中M→→
点在第一象限)，若MN＝3FN，则直线l的斜率为________.
→→
解析 法一 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中y1＞0，y2＜0.∵MN＝3FN，∴y1＝－2y2.设直线ly＝2px，???p?22
的方程为y＝k?x－?，联立?得ky－2py－kp＝0， p?x－?，?2?y＝k????2??
∴y1y2＝－p，∴y2＝－2p－－0
2
∴k＝＝22.
pp－42
→→
法二 由题意可知MF＝2FN，设直线l的倾斜角为θ， 由抛物线焦点弦的性质可知
2p＝，
1－cos θ1＋cos θ2
2
2pp，x2＝， 24
p即2－2cos θ＝1＋cos θ，
122
解得cos θ＝，∵θ为直线的倾斜角，∴sin θ＝，
33∴tan θ＝22， 即直线l的斜率为22. 答案 22
x2y2
8.(2020·福州联考改编)如图，双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，
ab过F2作直线与C的渐近线交于P点，若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为________.
解析 依题意得，kOP＝＝
ba|PF2|c221c－a2
＝e－1，在等腰△PFF中，cos∠PFF＝＝＝，1221
a2|F1F2|2c4
22|OP|232662222
所以|OP|＝c＋c－2ccos∠PF2F1＝c，所以|OP|＝c，所以cos∠F2OP＝＝，所以22|OF2|4tan∠F2OP＝答案
26
3
1515262，所以e－1＝，解得e＝. 333
三、解答题
x2y2
9.(2019·天津卷)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知3|OA|
ab＝2|OB|(O为原点). (1)求椭圆的离心率；
3
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相
4切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程.
解 (1)设椭圆的半焦距为c，由已知有3a＝2b，又由a＝b＋c，消去b得a＝?
2
2
2
2
?3?2
a?＋c，?2?
2
c1解得＝. a2
1
所以椭圆的离心率为. 2
x2y2
(2)由(1)知，a＝2c，b＝3c，故椭圆方程为2＋2＝1.
4c3c3
由题意，F(－c，0)，则直线l的方程为y＝(x＋c).
4
??
点P的坐标满足?消去y并化简，
3??y＝4（x＋c），
得到7x＋6cx－13c＝0， 13c解得x1＝c，x2＝－. 7
39
代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.
214
2
2
x2y2
2＋2＝1，4c3c?3?因为点P在x轴上方，所以P?c，c?. ?2?
由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t). 因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c，0)，
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