盘点优化解析几何中的方略技法
微点聚焦突破
技法一 巧用定义，揭示本质
定义是导出其性质的“发源地”，解题时，善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量分析有机结合起来，可使解题计算量大为简化.
【例1】 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第
4二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
x2
2
A.2
B.3
3C. 2
D.6 2
2
2
解析 焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，① |AF1|＋|AF2|
＝12，② 联立①②可解得|AF2|－|AF1|＝22，即2a＝22，又2c＝23，故双曲线的离心率e＝＝答案 D
思维升华 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线的实轴长，进而求出双曲线的离心率，大大减小了运算量.
【训练1】 抛物线y＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m，0)，则
|PF|
的最小值为________. |PA|
2
2
2
2
ca32
＝
6
，故选D. 2
解析 设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|＝(xP＋m)＋yP＝
?|PF|?＝（xP＋m）＝
(xP＋m)＋4mxP，则??2
?|PA|?（xP＋m）＋4mxP2
2
2
111
≥＝(当且仅
4mxP4mxP21＋1＋22
（xP＋m）（2xP·m）
|PF|2|PF|2
当xP＝m时取等号)，所以≥，所以的最小值为. |PA|2|PA|2
答案
2 2
技法二 设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程时，常常用代点法求解.
【例2】 已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
?1?(2)若过点N?，1?的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l?2?
的方程.
解 (1)设M(x，y)，因为kAM·kBM＝－2， 所以
·＝－2(x≠±1)， x＋1x－1
2
2
yy化简得2x＋y＝2(x≠±1)，即为动点M的轨迹方程. (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2).
1
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，
26??16??1
则C?，?，D?，－?，
2??22??2此时CD的中点不是N，不合题意.
?1?故设直线l的方程为y－1＝k?x－?，
?2?
将C(x1，y1)，D(x2，y2)代入2x＋y＝2(x≠±1)得
??2x1＋y1＝2，①?2 2??2x2＋y2＝2，②
2
2
2
2
1
2×2×
2y1－y22（x1＋x2）
①－②整理得k＝＝－＝－＝－1，
x1－x2y1＋y22×1
?1?∴直线l的方程为y－1＝－1×?x－?，
?2?
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
思维升华 1.本题设出C，D两点坐标，却不求出C，D两点坐标，巧妙地表达出直线CD的斜率，从而快速解决问题.
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：(1)凡是不必直接计算就能更简
洁地解决问题时，都尽可能实施“设而不求”；(2)“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.
1xy【训练2】 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，
2ab若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________. 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
2
??
则?
xy??a＋b＝1，
2
22
222
x2y211
2＋2＝1，ab∴
（x1－x2）（x1＋x2）（y1－y2）（y1＋y2）
＋＝0， 22
aby1－y2b2x1＋x2
∴＝－2·. x1－x2ay1＋y2
∵
y1－y21
＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， x1－x22
b2122∴－2＝－，∴a＝2b.
a2
又∵b＝a－c，∴a＝2(a－c)， ∴a＝2c，∴＝
2
22
2
2
2
2
2
ca2. 2
2. 2
即椭圆C的离心率e＝答案
2 2
技法三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解，也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简捷.
x2y2
【例3】 已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交
t3E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围. 解 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0， 当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0).
43
x2y2
π
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
4因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y－12y＝0，
431212
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
77
11212144
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
27749(2)由题意知，t＞3，k＞0，A(－t，0).
x2y2
2
x2y2
将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1
t3
得(3＋tk)x＋2t·tkx＋tk－3t＝0.
2
2
2
22
t2k2－3tt（3－tk2）
由x1·(－t)＝， 2得x1＝2
3＋tk3＋tk6t（1＋k）
故|AM|＝|x1＋t|1＋k＝. 2
3＋tk2
2
1
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，
k6kt（1＋k）
同理可得|AN|＝. 2
3k＋t2k3
由2|AM|＝|AN|得，即(k－2)t＝3k(2k－1). 2＝2
3＋tk3k＋t3k（2k－1）3
当k＝2时上式不成立，因此t＝. k3－2
2
k3－2k2＋k－2（k－2）（k2＋1）k－2
t＞3等价于＝＜0，即3＜0. 33
k－2k－2k－2
??k－2＞0，??k－2＜0，3
由此得?3或?3解得2＜k＜2.
?k－2＜0?k－2＞0，??
3
因此k的取值范围是(2，2).
t（3－tk2）
思维升华 本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x1＝，这体现了“设而2
3＋tk不求，整体代换”的思想.这是解决解析几何问题常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大减少了运算量.
x2y21?3?【训练3】 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P?1，?，左、右焦点分ab2?2?
别为F1，F2.
(1)求椭圆C的方程；
32
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心
7且与直线l相切的圆的方程.
c1
解 (1)由题意知＝，得a＝2c，
a2
所以a＝4c，b＝3c，
2
2
2
2
xy?3?2
将点P?1，?代入2＋2＝1得c＝1，
4c3c?2?
故所求椭圆方程为＋＝1. 43
(2)由(1)可知F1(－1，0)，设直线l的方程为x＝ty－1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t)y－6ty－9＝0， 显然判别式大于0恒成立，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0， 6t－932
则有y1＋y2＝， 2，y1y2＝2，r0＝
4＋3t4＋3t71
所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝|F1F2|·|y1－y2|
2112t＋12
＝|F1F2|·（y1＋y2）－4y1y2＝2. 24＋3t111
而S△AF2B＝|AB|r0＋·|BF2|r0＋|AF2|r0
2221
＝r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|) 21
＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|) 21132122＝r0·4a＝××8＝， 227712t＋11222所以，解得t＝1， 2＝
4＋3t7因为所求圆与直线l相切， 所以半径r＝
2
2
2
2
2
22
x2y2
t＋1
2
＝2，
2
2
所以所求圆的方程为(x－1)＋y＝2.
技法四 借“曲线系”，理清规律
利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一.
x2y2
【例4】 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛
ab
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何创新引领微课盘点优化解析几何中的方略技法教学案含解析人教A版
