概率论与数理统计期末试卷及答案
一、填空题：
1、一袋中有50个球，其中20个红球，30个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为 3/5 。
2、设P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么P(AUB)? 2/3 。 3、若随机变量X的概率密度为f(x)?Ax,?1?x?1,那么A= 3/2 。 4、若二维随机变量（X,Y）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/?，其它区域都是0，那么P(X?Y?2221)? 1/2 。 25、掷n枚骰子，记所得点数之和为X，则EX = 。
6、若X，Y，Z两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则D(X+Y+Z) = 6 。
7、若随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1)，那么它们的平方
2222和X1?X2?L?Xn服从的分布是?(n)。
8、设nA是n次相互独立的试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的??0,lim{|n???nA?p|??}= 0 。 n229、设总体X:N(?,?)，其中?已知，样本为X1,X2,L,Xn，设H0:???0，
H1:???0，则拒绝域为
X??0?n??z?。
10、设总体X服从区间[1,a]上的均匀分布，其中a是未知参数。若有一个来自这个总体的样
$= max{x,x,L,x}?2.7。 本2, , , , , 那么参数a的极大似然估计值a12n二、选择题
1、设10张奖券只有一张中奖，现有10个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ） （A）每个人中奖的概率相同； （B）第一个人比第十个人中奖的概率大； （C）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9； （D）每个人是否中奖是相互独立的
222、设随机变量X与Y相互独立，且X:N(?1,?)，Y:N(?2,?)，则X?Y服从的
分布是（ B ）
2222（A）N(?1??2,?)；（B）N(?1??2,2?)；（C）N(?1??2,?)；（D）N(?1??2,2?)
3、设事件A、B互斥，且P(A)?0，P(B)?0，则下列式子成立的是（ D ）
（A）P(A|B)?P(A)； （B）P(B|A)?0；
（C）P(A|B)?P(B)； （D）P(B|A)?0；
4、设随机变量X与Y独立同分布，P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2，则下列成立的是（ A ）
（A）P(X?Y)?1/2； （B）P(X?Y)?1； （C）P(X?Y?0)?1/4； （D）P(XY?1)?1/4；
5、有10张奖券，其中8张2元，2张5元。现某人随机无放回的抽取3张，则此人得到奖金金额的数学期望是（ B ）
（A）6元 （B）元 （C）9元 （D）12元
6、设X，Y，Z独立同分布，且方差存在，记U = X+Y, V=Y+Z，则U与V的相关系数是（ C ） （A）1 （B）3/4 （C）1/2 （D）1/4
7、若总体X:N(?,?)，其中?已知，?>0未知。X1,X2,L,Xn是来自这一总体的一个样本，与这个样本有关的四个量X1?X2??，min(X1,X2,X3)，n2X1?X2?L?Xn?，
?(Xk?1k??)中有（ B ）个可以作为统计量。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8、若总体X:N(?,?)，其中?，?>0均未知。X1,X2,L,Xn是来自这一总体的一个样本，则非统计量的是 ( C )
（A） max(X1,X2,X3)， （B）min(X1,X2,X3)，
2（C）
X1?X2?X3?μ?， （D）
X1?X2?X3
39、检验正态总体均值?时，方差?已知，显着性水平为?，设Z?2
X?μ0?/n，在假设
H0:???0，H1:???0下，下列结论正确的是（ C ）
（A）拒绝域为Z??Z? （B）拒绝域为Z??Z?
22 （C）拒绝域为Z??Z? （B）拒绝域为Z?Z?
10、若总体X:N(?,?)，其中?未知，?>0已知。总体均值?的置信区间的长度l与置信度???的关系（ B ）
（A）???变小时，l伸长 （B）???变小时，l缩短 （C）???变小时，l不变 （D）以上说法都不对
2
三、大题
1、某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是, , , 。求： （1）任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率；
（2）对于任选的一名通过选拔进入比赛的射手，试判断这名射手的级别。
2、在下雨天，某人上班迟到的概率为，而在晴天，此人上班迟到的概率为。根据天气预报，明天下雨的概率为.
（1）求出此人明天按时上班的概率；
（2）已知此人第二天是准时上班的，问第二天下雨的概率是多少
3、设X、Y是独立同分布的随机变量，且都服从区间[0，1]上的均匀分布。 （1）求（X，Y）的联合概率密度函数；
（2）求一元二次方程z?Xz?Y?0有两个实根的概率是多少 （3）求min{X,Y}?21的概率。 2A，???x???，其中A是常数。
1?x24、若随机变量X具有分布密度函数f(x)?（1）求常数A，及X的分布函数； （2）求P(X?0|X?1)
（3）求Y=3X-2的概率密度函数。
5、若一个正方形边长为随机变量X，服从区间[0,1]上的均匀分布。 （1）求面积S的分布密度函数； （2）计算P(S?
6、若随机变量X，Y独立，概率密度函数为
111|?S?) 482?2e?2x,fX(x)???0,?3e?3y,， fY(y)??x?0?0,x?0y?0y?0
（1）求X，Y的分布函数，及Z=min(X,Y)的概率密度函数；
（2）求X+Y的概率密度函数； （3）计算概率P（X 7、设X、Y是独立同分布的随机变量，且都服从标准正态分布，若U?a11X?a12Y, 2222?a22?0。 ?a12?0, a21V?a21X?a22Y，其中a11,a12,a21,a22都是实常数，且a11（1）U，V分别服从什么分布求出它们各自的期望与方差； （2）计算U，V的相关系数 8、设X、Y是独立同分布的随机变量，且都服从区间[0，1]上的均匀分布。记随机变量 Z1?X?Y,Z2?max(X,Y),Z3?|X?Y|。 （1）求Z1,Z2,Z3各自的概率密度函数； （2）求P(Z1?1,Z2?1)，并判断Z1,Z2是否相互独立。 2 9、已知生男孩的概率为，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率。（?(1.92)?0.97257，?(2.95)?0.99841，?(3)?0.99865，?(3.23)?0.99938） 提示：应用中心极限定理。 10、为估计正态总体X的均值若总体?，某人抽得一个简单随机样本X1,X2,L,Xn。他分别选择X1与 X1?X2?L?Xn作为?的估计量。 n（1）这两个统计量是否都可以用来作为均值?的估计量它们是否都是?的无偏估计 （2）这两个估计量哪个更好些为什么 （3）如果选用统计量X?X1?X2?L?Xn来检验总体的均值是否?0，那么应该提出什 n么假设在显着性水平为?时，写出检验统计量及拒绝域的形式（设总体方差未知）。 11、设总体X的分布律为P(X?1)??，P(X?2)??，P(X?3)?1?2?，其中???为未知参数。今有样本 1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2 （1）求?的矩估计量与矩估计值； （2）求?的极大似然估计量与极大似然估计值。 解题提示：假设x1,x2,L,xn为总体X的样本值，设其中是1的个数为n1，是2的个数为n2，则是3的个数为n?n1?n2，由此得到似然函数为L(?)??n1?n2(1?2?)n?n1?n2，再求对数 似然函数，令其导数为0，进而可求得极大似然估计量。 12、某电器厂生产一种云母片，由长期生产的数据知道云母片厚度服从正态分布，厚度的均值为。现在某天生产的云母片中，随机抽取10片，分别测得其厚度的平均值为，标准差为。问：这天生产的云母片厚度的均值与往日的是否有显着差异 （显着性水平??????, 可能用到的数据：z0.05?1.65，z0.025?1.96, t0.05(9)?1.833， t0.05(10)?1.813, t0.025(9)?2.262，t0.025(10)?2.228） 13、设总体的标准差为???，X是容量为100的样本均值。试用中心极限定理求出一个界限?，使得|X??|??的概率近似为，其中?是总体的均值（?(1.65)?0.95） 14、从一个正态总体X:N(?,?)中抽得一个简单随机样本 X1,X2,L,Xn，证明样本方差S是总体方差的无偏估计。 15、设总体X分布在区间[0,1]上，其概率密度为f(x)?(??1)x,0?x?1，其中???1是未知参数，求：?的矩估计量和最大似然估计量。 16、某种零件总量服从正态分布N(?,?)，其中?,?都是未知的，从中抽取容量为9的一个样本，求零件重量的置信度为的置信区间。样本值为（单位：公斤） 22?22 t0.05(10)?1.813，已知数据z0.05?1.65，z0.025?1.96, t0.05(8)?1.860，t0.05(9)?1.833， t0.025(8)?2.306，t0.025(9)?2.262，t0.025(10)?2.228
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