专题7.3 基本不等式及其应用
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识点一 基本不等式ab≤
a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 知识点二 几个重要的不等式
ba
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；
aba＋b?2a＋b?2a＋b
(3)ab≤?(a，b∈R)；(4)??2??2?≤2(a，b∈R)； a＋b2ab(5)≤ab≤≤
2a＋b
a2＋b2
(a＞0，b＞0)． 2
2
2
知识点三 算术平均数与几何平均数
a＋b
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的
2算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)． q2
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】
1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.
2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.
考点一 利用基本不等式求最值
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【典例1】（江西临川一中2024届模拟）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为_______
44x－5【答案】1
5
【解析】因为x＜，所以5－4x＞0，
4则f(x)＝4x－2＋故f(x)＝4x－2＋【方法技巧】
1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．
【变式1】（山东潍坊一中2024届模拟）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 【答案】6
【解析】由已知得x＋3y＝9－xy， 因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥23xy， 所以3xy≤?
x＋3y?2
，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
?2?111
＝－?5－4x＋5－4x?＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
??4x－55－4x1
的最大值为1. 4x－5
令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考点二 利用基本不等式解决实际问题
【2024年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、【典例2】
京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果
进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，
y?120元时，李明得到的金额为y?80%，符合要求.
y?120元时，有?y?x??80%?y?70%恒成立，即8?y?x??7y,x?所以x的最大值为15。
【举一反三】（广东广州六中2024届模拟）某厂家拟定在2024年举行促销活动，经调查测算，该产k品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活
m＋1动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【解析】(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)， 2
所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－，
m＋18＋16x
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
x8＋16x
所以2024年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
x16
＝－?m＋1＋(m＋1)?＋29(m≥0)．
y?y?，即x????15元，8?8?min??
16
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥216＝8，
m＋1所以y≤－8＋29＝21，
16
当且仅当＝m＋1?m＝3(万元)时，
m＋1
基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)
