?100??100??,P??2?10?,求A,A5. 000已知AP?BP,其中B?????????00?1???211??
八、（本题满分8分）
?200??200??与B??0y0?相似. 001已知矩阵A?????????01x???00?1??(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.
九、（本题满分9分）
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在
唯一的?,使曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线
y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3倍.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概19率等于,则事件A在一次试验中出现的概率是____________.
276(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为
5____________.
(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
?(x)??x??1e2??u22du,?(2.5)?0.9938,
则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?概率密度函数fY(y).
1,求随机变量Y?1?3X的2?(1?x)1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
f(3?h)?f(3)(1)已知f?(3)?2,则lim= _____________.
h?02h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?f(t)dt,则f(x)=_____________.
01(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分
?L(x2?y2)ds=_____________.
(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.
?300??100??,I??010?,则矩阵(A?2I)?1=_____________. 140(5)设矩阵A?????????003???001??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1(1)当x?0时,曲线y?xsin
x(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线
(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是
(A)(1,?1,2) (C)(1,1,2)
(B)(?1,1,2)
(D)(?1,?1,2)
(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是
(A)c1y1?c2y2?y3
(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
2
(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3
?
(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
(4)设函数f(x)?x,0?x?1,而S(x)??bnsinn?x,???x???,其中
n?1bn?2?f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,011,则S(?)等于
21(A)?
21(C)
4
1(B)?
41(D)
2(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中
(A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏
?2z导数,求.
?x?y
(2)设曲线积分?xy2dx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且
c?(0)?0,计算
?(1,1)(0,0)xy2dx?y?(x)dy的值.
(3)计算三重积分???(x?z)dv,其中?是由曲面z?x2?y2与z?1?x2?y2?所围成的区域.
四、(本题满分6分)
1?x将函数f(x)?arctan展为x的幂级数.
1?x
五、(本题满分7分)
设f(x)?sinx??(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
0x
六、（本题满分7分）
x?证明方程lnx???1?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.
e0
七、（本题满分6分）
问?为何值时,线性方程组
x1?x3??
4x1?x2?2x3???2 6x1?x2?4x3?2??3
有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 1(1)为A?1的特征值. ?(2)
A?为A的伴随矩阵A*的特征值.
九、（本题满分9分）
设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何
值时,球面?在定球面内部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件AB的概率P(AB)=____________.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) x??t?2 (1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程是_____________. z?t?1
x?ax(2)设a为非零常数,则lim()=_____________.
x??x?a
(3)设函数f(x)? (4)积分?dx?e0x22?y2
1x?1 ,则f[f(x)]=_____________. 0x?1dy的值等于_____________.
(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7), 则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??(A)?e?xf(e?x)?f(x) (C)e?xf(e?x)?f(x)
e?xxf(t)dt,则F?(x)等于
(B)?e?xf(e?x)?f(x) (D)e?xf(e?x)?f(x)
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是
(A)n![f(x)]n?1 (C)[f(x)]2n
?
(B)n[f(x)]n?1 (D)n![f(x)]2n
(3)设a为常数,则级数?[n?1sin(na)1?] n2n(A)绝对收敛
(C)发散 (B)条件收敛 (D)收敛性与a的取值有关
1987年-2014考研数学一历年真题完整版(Word版)
