1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.
(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.
x?1
(3)与两直线 y??1?t及_____________.z?2?t
(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分?(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy=
Lx?1y?2z?1都平行且过原点的平面方程为??111_____________.
(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量
β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
x1t2求正的常数a与b,使等式limdt?1成立.
2x?0bx?sinx?0a?t
三、(本题满分7分)
(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求
?u?v,. ?x?x?301??,求矩阵B. 110(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A??????014??
四、(本题满分8分)
求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设limx?af(x)?f(a)??1,则在x?a处
(x?a)2(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (C)f(x)取得极小值
st0
(B)f(x)取得极大值 (D)f(x)的导数不存在
(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值 (A)依赖于s和t (C)依赖于t、x,不依赖于s (3)设常数k?0,则级数?(?1)nn?1? (B)依赖于s、t和x (D)依赖于s,不依赖于t
k?n 2n(A)发散 (C)条件收敛 (B)绝对收敛 (D)散敛性与k的取值有关
(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则
|A*|等于
(A)a
(B)
1 a(C)an?1 (D)an
六、（本题满分10分） 求幂级数?1n?1x的收敛域，并求其和函数. nn2n?1?
七、（本题满分10分） 求曲面积分
I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,
???z?y?1 1?y?3其中?是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向
x?0???量与y轴正向的夹角恒大于.
2
八、（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
九、（本题满分8分）
问a,b为何值时,现线性方程组
x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?望为____________,X的方差为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
1?e?x2?2x?1,则X的数学期
10?x?1e?yy?0fX(x)? ,fY(y)? ,
y?00其它0求Z?2X?Y的概率密度函数.
1987年-2014考研数学一历年真题完整版(Word版)
