5.1 传染病模型 $ I& Q) s) y7 ~- p\
本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例， 模型分三部分层层递进： SI（只分为易感染着、已感 染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感 染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出 者”）。可以说从基础模型到一步步递进， 是对实际 传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析 十分重要，也是本章分析得最细的章节 。其中引入了 “相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到， 这一节有很详细的介绍。
模型改进、建模目的性、方法三者配合 ，是本节 亮点。6 z2 G% I
N& r- a8 [% N
5.2 经济增长模型 9 F8 F) Y/ Z# H9 H# V' U
通过建立产值与 1）资金；2）劳动力之间的关系， 来研究 1）资金与劳动力的最佳分配，使效益最大； 2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有 效增长。
本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模 型——Douglas 生产函数。本节给出的模型推导稍繁， 但结果简明，有合理解释。 5.3 正规战与游击战
这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结 局的数学模型，有传统正规战争、稍复杂的游击战， 以及混合战。重点在于建模过程：如何描述战争双方 的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这 节很好地体现了微分方程的强大。 5.4 药物在体内的分布与排除 q( {( d8 l
本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程， 为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于 1）模型的假设：尽管是简化，但由临床试验证明是 正确的，可以接受； 2）对参数的估计。
先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。 1 d- K* M3 X& A, ^2 C
5.5 香烟过滤嘴的作用 & i. T$ d7 B& F
看起来不易下手的一个问题，用恰当的假设，引 入两个基本函数 q,w,及物理学常用的守恒定律，建 立出微分方程模型，从而构造动态模型。本例是经典 的建模案例。 5.6 人口的预测和控制
本节模型与之前的区别在于：考虑年龄的分布， 即除了时间外，年龄是另一个自变量。过程中重要的 是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。
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t! z\5.7 烟雾的扩散与消失
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标，不仅 帮助建模，而且该指标本身是客观存在的，并非虚构， 这样更加有说服力。 8 C1 @: F4 L- c$ Y* ]
5.8 万有引力定律的发现 * ]0 L6 G: ]% m! c# l& ?. N7 e3 D
十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有 引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同 推导出的，这一节再现了这个推导过程。这个模型告 诉我们：正确假设 +用数学演绎建模 =对自然科学研 究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性 地运用数学方法，来提升我们解决实际问题的能力。 B1 h8 R
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第 6 章 稳定性模型
关键词：稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨
线
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本章是建立在上一章的基础上，在微分方程基础
上引入的一种重要思想 /概念，那就是——对于某些 问题，我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态，而 是研究稳定状态的特征，特别是时间充分长以后的状 态/趋势，从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要 “求解”微分方程（组），即“建而不解”；而是利用“微 分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。
*6.6 微分方程稳定性理论简介 \X J2 l
这一节应为优先阅读的一节，介绍了如何判断一 阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂 （对于未接触过的同学），重要在于了解一些概念、 结论，在模型实例中来进一步理解。 0 r. ]% }% i* D D
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6.1 捕鱼业的持续收获 + t# M% o! L' t7 K) h, l; l
研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题，如何捕 捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一 个“捕捞量”的答案就可以了，但是模型整个过程分析 中还是得出了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学 捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。 + t$ H0 r9 ^1 ?0 M) a! i
6.2 军备竞赛
这个问题在第二章初等模型中就出现过，这里用 微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说， 军备竞赛因素很多，无法圆满描述，只是想告诉我们： 一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度，得到 的结果又怎样解释实际现象。
6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕 食者模型
这三节作为一个系列，用种群竞争、依存、捕食 这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中，相 轨线分析法再次成为主角，它的意义在于： 从图中曲 线上直观地看出发展趋势，且特殊点对应的意义作出 解释。
第 7 章 差分方程模型 . n/ u, N0 n* q0 Y9 W: t9 ] 关键词：差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混
沌
5 P1 H0 U( N) s+ Z# w
将时间离散化后，就可以建立与微分方程相对应
《数学模型（第三版）》学习笔记
