第九章 系综理论
习题9.1证明在正则分布中熵可表为S??k??sln?s其中?s?1e??Es是系统
sZ处在s态的概率。 证：熵的统计表达式是
S?k(lnZ???lnZ??)
多粒子配分函数
???Ess??1e??Es?1?Z??e?,Z?1sZ?e??Es s??Ek?Ek?lnZ??Eke?(?Ek)e?k???k?e??Ek?Z k由(2)知
e??Es?Z?s
???E1s?lnZ?ln?s??Es????lnZ?ln?s??
(4)X(5)代至(3)得
?lnZ1?????lnZ?ln?s???s?1ln?s;
s???lnZ?1???ss于是
S?k????lnZ??lnZ??????k??sln??ss
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
证明2：准备工作
S??k??sln?s??k?ss1Ze??Esln1Ze??Es??k?s1Zee??Es(??Es?lnZ)1Ze??Es?k?s1Z??Es?Es?k?slnZ??Es?k?Z?(???s?e??Es)?klnZZZ?es??k??k??Z???se??Es?klnZ?se??Es??ZZ?????klnZ?klnZ?lnZ??)??k??lnZ?k(lnZ??
习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵
N证： Z?符号 dp??se??EsE??i?1?p2m12ix?pi?py22?
iz?dpiixdpiydpiz dq??2m?idixdy dziiN3N??Z?1N!hVN3N3N??e??i?1N2pix?2piy?2piz?dpdq?VN?N!h???e??pix?piy?piz?2m222i?1?Ndp3N/2?N!h????(2m????e??2px?2py?2pz)?dpxdpydpz???Z?VN3NN!h?2m???????32
3N/2N???2m???lnZ?V?U????ln??ln???3N?????N!h?????????3N/2?NkT
?VN?2m??3N/2?1?p??ln?lnV???3N???V??VN!h???????????lnZ1?N?1VNkT
S?k(lnZ???lnZ???VN?2m??3N/2?3)?k(lnZ??U)?kln???Nk?3N?N!h???2?????VN?2m??3N/2?3?kln?3N??klnN!?Nk??h???2?????V?2m??3/2?3?Nkln?3??kNlnN?kN?Nk??h????2????V?2m?kT?3/2?5?Nkln?????Nk2h????N??2
习题9.5 试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。 解：实际气体的能量表达式为
NE??i?1p?2m12ix?piy?piz?22???(ri?jij) （1）
由正则分布，系统处在s态的概率是?s?1Ze??Es，也就是说，第1,2,…N个粒子
的动量分别处在dp1xdp1ydp1z,dp2xdp2ydp2z,?,dpNxdpNydpNz,位置分别处在
dq1xdq1ydq1z,dq2xdq2ydq2z,?,dqNxdqNydqNz范围内的概率是
1?(p,q)dpdq?N!h1N!h3Ne?N1????i?12m???2pix?2piy?2piz?????(rij)??i?j?dpdq3N?e?N1????i?12m???2pix?2piy?2piz?????(rij)??i?j?dpdq
对于任意1个分子比如第m个分子，位置处在体积V内，动量处在dpmxdpmydpmz范围内的概率是将上式对除dpm?dpmxdpmydpmz以外的变量dpdq进行积分
?(pm)dpm?dpm??(p,q)dp1dp2?dpm?1dpm?1dpNdq1dq2?dqNdpm?e?N1????i?12m???2pix?2piy?2piz?????(rij)??i?j??dp1dp2?dpm?1dpm?1dpNdq1dq2?dqN222?Ne?N1????i?12m???pix?piy?piz???i?j??(rij)???dpdq?????dpm?e?2m?pix?piy?piz?222i?11dp1dp2?dpm?1dpm?1dpN?2m?pix?piy?piz?222i?1N???(rij)i?jedq1dq2?dqN??1????dpmxdpmydpmzeNe1dp?e??(rij)i?jdq???p2m2mx?pmy?pmz22????e?2m?pmx?pmy?pmz?222i?11dpmxdpmydpmz22???????2m??即
3/2e???v2mm22mx?vmy?vmz?mdvmxdvmydvmz3??vmx?vmy?vmz??m?2kT?(pm)dpm??dvmxdvmydvmz ?e?2?kT?由此可见，实际气体分子也遵从麦氏速度分布。
习题9.12用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化学势。
解：巨配分函数的定义是
2223/2m??上式可改写为
??eNS??N??Es （1）
???Ne??N?Se??Es??Ne??NZN(T,V) （2）
其中ZN(T,V)是个粒子的正则配分函数
ZN(T,V)?VN3N???S?e???Es?2??lel22??El?V1N!hN3N3N??2m?e?????pix?piy?piz?222i?1NdpdqN??e??pix?piy?piz?2mi?1Ndp??????e?2m(px?py?pz)222?dpxdpydpz?N!h??N!h?3N/2?VN?2m??N!h3N????? 代入（2）求得巨配分函数为
N?2m??3N/2N3N/2???e??NV3N??NV?2m??3NNN!h??????1NN!e?h?????1m??3N/2?3/2?N??e??N???1????2m?NN!VN?2??h2??N?0N!?eV???????h2???? ??exp?e??V?2m??3/2???????h2????巨配分函数对数是
3/2ln??e??V?2m?????h2?? 系统的平均粒子数为
N??????3/2???2m??????2m??3/2??lnΞ?????eV??2?? =e?V??lnΞ ???h?????h2??由此定出
?V?2m??3/2???ln???? ?N??h2? ???由?????进一步得粒子的化学势为
??/???kT???kTln?V?2m??3/2?????? ??N??h2? ???系统的内能
?3）
（4）
(5)
(6) (7) (8) （
热力学与统计物理 - 第09章系综理论习题解ok1
