第三部分 典题精练
1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
?3x?5y?1?x?2y?3?2x?y?3① ? ②? ③?
3x?5y?13x?6y?94x?2y?3???2??x?3y?a?a?11． a取什么值时方程组?的解是正数？
2??9x?6y?9a?2a?22． a取哪些正整数值，方程组??x?2y?5?a的解x和y都是正整数？
?3x?4y?2a3． 要使方程组??x?ky?k的解都是整数， k应取哪些整数值？
?x?2y?14． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，
鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
第四篇 用交集解题
第一部分 基本方法
1. 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
1． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 2． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合，
正数集正整数集整数集右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组??2x?6?(1)解的集合就是
??x?2?(2)不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3. 如数轴所示： 0 2 3
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2） 第二部分 典例精析
例1. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 例5. 十进制中，六位数19xy87能被33整除，求x和y的值
第三部分 典题精练
1. 负数集合与分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是 三角形集合与 三角形集合的交集。
2. 12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C＝｛ ｝，集合C是集合A和集合B的＿＿ 3. 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？ 5. 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
6. 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
7. 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？
8. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？） 9. x?y?3?x?y?5?0
10. 十进制中，六位数1xy285能被21整除，求x,y的值（仿例5）
第五篇 用枚举法解题
第一部分 基本方法
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行； ② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 第二部分 典例精析 例1. 如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？
例2. 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。 例3. 讨论不等式ax 例4. 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点， 试计算图中所有的三角形个数 第三部分 典题精练 1. 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共 个，它们是 . 2. a+b=37,适合等式的非负整数解共 组，它们是 . 3. xyz=6,写出所有的正整数解有： . 4. 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数. A B C D E F 5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。 6. 除以4余1 两位数共有几个？ 7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？ 8. 把 边长等于4的正方形各边4等分，连结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？ 9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数， 则这个正整数的最小值是 . BA第六篇 经验归纳法 第一部分 基本方法 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ）， 三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ………… 归纳出n 位数共有9×10n －1 (个) ③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个连续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足够次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，
初中数学竞赛辅导资料
