第三部分 典题精练
1. 不解方程组,判定下列方程组解的情况:
?3x?5y?1?x?2y?3?2x?y?3① ? ②? ③?
3x?5y?13x?6y?94x?2y?3???2??x?3y?a?a?11. a取什么值时方程组?的解是正数?
2??9x?6y?9a?2a?22. a取哪些正整数值,方程组??x?2y?5?a的解x和y都是正整数?
?3x?4y?2a3. 要使方程组??x?ky?k的解都是整数, k应取哪些整数值?
?x?2y?14. (古代问题)今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,
鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少?
第四篇 用交集解题
第一部分 基本方法
1. 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个。
1. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A={1,2,3,6},10的正约数集合B={1,2,5,10},6与10的公约数集合C={1,2},集合C是集合A和集合B的交集。 2. 几个集合的交集可用图形形象地表示, 右图中左边的椭圆表示正数集合,
正数集正整数集整数集右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组??2x?6?(1)解的集合就是
??x?2?(2)不等式(1)的解集x>3和不等式(2)的解集x>2的交集,x>3. 如数轴所示: 0 2 3
4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案。(如例2) 第二部分 典例精析
例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值。 例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数。 例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人,订阅B种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A种、只订B种的各几人?数学兴趣小组共有几人?
[公式一]N=N+ N(A)+N(B)-N(AB)。
例4. 在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同时会玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人, 问:有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球? 例5. 十进制中,六位数19xy87能被33整除,求x和y的值
第三部分 典题精练
1. 负数集合与分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是 三角形集合与 三角形集合的交集。
2. 12的正约数集合A={ },30的正约数集合B={ } 12和30的公约数集合C={ },集合C是集合A和集合B的__ 3. 某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值。
4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少? 5. 求符合如下三条件的两位数:①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
6. 据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人?②只会打排球是几人?
7. 100名学生代表选举学生会正付主席,对侯选人A和B进行表决,赞成A的有52票,赞成B的有60票,其中A、B都赞成的有36人,问对A、B都不赞成的有几人?
8. 数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计,数学24人,物理18人,化学10人;按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人。求参赛的总人数,只参加数学科的人数。(本题如果改为有2人三科都参加呢?) 9. x?y?3?x?y?5?0
10. 十进制中,六位数1xy285能被21整除,求x,y的值(仿例5)
第五篇 用枚举法解题
第一部分 基本方法
有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。列举解答要注意:
① 按一定的顺序,有系统地进行; ② 分类列举时,要做到既不重复又不违漏;
③ 遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。 第二部分 典例精析 例1. 如图由西向东走,从A处到B处有几种走法?
例2. 写出由字母X,Y,Z中的一个或几个组成的非同类项(系数为1)的所有四次单项式。 例3. 讨论不等式ax
例4. 如图把等边三角形各边4等分,分别连结对应点,
试计算图中所有的三角形个数 第三部分 典题精练
1. 己知x,y都是整数,且xy=6,那么适合等式解共 个,它们是 .
2. a+b=37,适合等式的非负整数解共 组,它们是 . 3. xyz=6,写出所有的正整数解有: .
4. 如图线段AF上有B,C,D,E四点,试分别写出以A,B,C,D,E为一端且不重复的所有线段,并统计总条数.
A B C D E F
5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项(系数为1)的 所有三次单项式 。 6. 除以4余1 两位数共有几个?
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个,其和要大于10,共有几种不同取法? 8. 把 边长等于4的正方形各边4等分,连结各对应点成16个小正方形,试用枚举法,计算共有几个正方形?如果改为 5等分呢?10等分呢?
9. 右图是街道的一部分,纵横各有5条路,如果从A到B(只能从北向南,从西向东),有几种走法?
10. 一个正整数加上3是5的倍数,减去3是6的倍数,
则这个正整数的最小值是 .
BA第六篇 经验归纳法
第一部分 基本方法
1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。例如
①由 ( - 1)2 = 1 ,(- 1 )3 =- 1 ,(- 1 )4 = 1 ,……, 归纳出 - 1 的奇次幂是- 1,而- 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个( 9 × 10 ),
三位数从 100 到 999 共900个(9×102), 四位数有9×103=9000个(9×103), …………
归纳出n 位数共有9×10n
-1
(个)
③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个连续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足够次数的试验。
由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,
初中数学竞赛辅导资料
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