?222?5. 矩阵A???333?的秩是（ B ）． ?444????A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 1．计算
（1）???21??01??1?2?53?????10?=???35? ?（2）??02??11??00? ?0?3????00?????00????3?（3）??1254??0???=?0???1?
?2???123?2．计算???122????124??245?143???610? ??32???????1???23?1????3?27???123???12解 ???122????4??245??7197??24?143?????610?????7120?????61?1?32????23?1????3?27????0?4?7????3?2?5152? =??1110? ?3?2?14??????23?1?3．设矩阵A???111??123?，B??112??11?，求AB。 ??1??0????01??解 因为AB?AB 所以AB?AB?2?0?0
?124?4．设矩阵A???2?1?，确定?的值，使r(A)最小。 ???110??5?0?7??? ??10??124??110??1??→?014?→?2?1解：A??014? ???????2?1???0??2?10??110??????4?∴??9时，r(A)?2达到最小值。 41?3??的秩。 0??3??7420?20??1?74?027?15?63??8543????? ?09?5?21??5321?????1123?027?15?63???2?532?5?8545．求矩阵A???1?742??4?112?2?532?5?854解：A???1?742??4?1121??1?53?????20???3??4∴r(A)?2。 6．求下列矩阵的逆矩阵：
?1?32?? ?301（1）A?????1?1??1???1?1?3??113?? ∴A?1?1A*??237? ?2?3?7解：∵A??1 A*??????A????3?4?9???349????13?6?3??． ?4?2?1（2）A =????11??2?0?0???13??13? ∴A?1?1A*??2?7?1? 2?7?1解：∵A?1 A*??????A??12?12??0??0??12??12?7．设矩阵A??，求解矩阵方程XA?B． ,B?????35??23??10?解：XAA?BA ∴X = ?? ?11???1?1四、证明题
1．试证：若B1,B2都与A可交换，则B1?B2，B1B2也与A可交换。 证明：（1）∵(B1?B2)A?B1A?B2A?AB1?AB2?A(B1?B2) ∴B1?B2与A可交换。
（2）∵B1B2A?B1(B2A)?B1(AB2)?(B1A)B2?(AB1)B2?AB1B2 ∴B1B2也与A可交换。
2．试证：对于任意方阵A，A?AT，AAT,ATA是对称矩阵。 证明：（1）∵(A?AT)T?AT?(AT)T?AT?A?A?AT ∴A?AT是对称矩阵。
（2）∵(AAT)T?(AT)TAT?AAT ∴AAT是对称矩阵。 （3）∵(ATA)T?AT(AT)T?ATA ∴ATA是对称矩阵。
3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。 证明：充分性：∵AB?BA ∴(AB)T?BTAT?BA?AB ∴AB对称
必要性：∵AB对称，∴AB?(AB)T?BTAT?BA ∴AB对称的充分必要条件是：AB?BA。
4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B?1?BT，证明B?1AB是对称矩阵。
证明：∵A为n阶对称矩阵 B为n阶可逆矩阵
∴(B?1AB)T?BTAT(B?1)T=B?1AB ∴B?1AB是对称矩阵。
【经济数学基础】形考作业四答案：
（一）填空题 1.函数f(x)?4?x?1的定义域为（1，2）∪（2，4］ In(x?1)2. 函数y?3(x?1)2的驻点是 x=1 ，极值点是 x=1 ，它是极 小 值点. 3.设某商品的需求函数为q(p)?10e?p2，则需求弹性Ep? .答案：
?1p 21114.行列式D??111?____________.答案：4
?1?1116??11?，则t__________时，方程组0?1325. 设线性方程组AX?b，且A??????00t?10??有唯一解.答案：??1
（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x 2. 设f(x)?1x，则f(f(x))?（ C ）． A．1/x B．1/ x 2 C．x D．x 2 3. 下列积分计算正确的是（ A ）．
A．?1ex?e?x?12dx?0 B．?1ex?e?x?12dx?0 C．?1xsinxdx?0 D．?1-1-1(x2?x3)dx?0
4. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）． A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n?x1?x2?a15. 设线性方程组??x?2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（?x1?2x2?x3?a3A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0 三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y??ex?y
解：??e?yd(-y)??exdx
∴原微分方程的通解为：?e?y?ex?c
）．
C
dyxex（2）?2
dx3y解：?3y2d(y)??xexdx
∴原微分方程的通解为：y3?xex?ex?c 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y??2y?x3 x2解：e?2lnxy'?e?2lnxy?x3e?2lnx
x1∴(e?2lnxy)'?x3e?2lnx ∴e?2lnxy??x3e?2lnxdx?c ∴y=x4?cx2
2（2）y??y?2xsin2x x1解：e?lnxy'?e?lnxy?2xsin2xe?lnx
x两端分别积分：
1y??cos2x?c x∴y?x(?cos2x?c)
3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y??e2x?y,y(0)?0
11解：eydy?e2xdx 两端积分：ey?e2x?c ∵y(0)=0 ∴c＝
2211∴ey?e2x?
22(2)xy??y?ex?0,y(1)?0
解：xy??y?ex 两端积分：xy?ex?C ∵y(1)?0 ∴C＝-e
∴y?1x(e?e) x4.求解下列线性方程组的一般解：
?2x3?x4?0?x1?（1）??x1?x2?3x3?2x4?0
?2x?x?5x?3x?0234?1
经济数学基础形考作业参考答案
