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图1 图2 图3
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠
AOB＞∠B．
如图3，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ中， cos?A?35520为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?OR?t?． 533352041如图4，当AP＝AQ时，解方程7?t?t?，得t?．
338如图5，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)． 解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t?5．
1AQ52032262如6，当PA＝PQ时，那么cos?A?．因此AQ?2AP?cos?A．解方程t??2(7?t)?，得t?．
33543AP综上所述，t＝1或
41226或5或时，△APQ是等腰三角形． 843
图4 图5 图6
5.解答(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此
m8?xDCEB128?，即?．整理，得y关于x的函数关系为y??x?x．
xyCEBFmm(2)如图1，当m＝8时，y??(3) 若y?121x?x??(x?4)2?2．因此当x＝4时，y取得最大值为2． 88121812??x2?x．整理，得x2?8x?12?0．解得x＝2或x＝6．要使△DEF，那么
mmmm12，m为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入y? _
得m＝6（如图2）；将x＝y ＝6代入y?12，得m＝2（如图3）． m
图1 图2 图3
6.解答（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．在Rt△BEG中，BE?所以BG?BE?cos60??1，EG?BE?sin60??1AB?2，∠B＝60°， 23．所以点E到BC的距离为3．
（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点． 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．
①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变．
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过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q． 在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3． 在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．
所以BG＝PQ＝1．因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2． 在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7．
在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．因此△PMN的周长为3＋7＋4．
图4 图5
②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．
如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上． 在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3． 此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．
如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝3，x＝GM＝GC－MC＝5－3． 如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°． 又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．此时x＝4． 综上所述，当x＝2或4或5－3时，△PMN为等腰三角形．
图6 图7 图8
7.解答
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当点Q由点B向点O匀速运动，即5＜t＜8时，△OPQ始终是等腰直角三角形，那么线段PQ的垂直平分线EF必定都经过原点O，所以5＜t＜8时也符合条件．
2013-2014学年度初三数学培优班理解练习卷参备考资料答案解析(因动点产生的等腰三角形问答)
