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2013—2014学年度初三数学培优班练习卷参考答案
（因动点产生的等腰三角形问题）
班级 座号 姓名
一、选择题.
1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.C 9.B 10.B 11.C 12.D 13.B 14.C 15.B 16.B 17.B 二、填空题.
1、4 2、30°，75°，120° 3、4个 4、（2.5，4），（3，4），（2，4）
5、3 6、4?23 7、4 8、20 9、
10、4个，CD=10 CM=PM=8
11、（2，4），（2.5，4），（3，4），（8，4）
12、
三、计算题 1.解答
（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以ED?CD?tan?C?5?31525． ?，EC?444（2）如图1，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是 △ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以
34PMDM4??．所以QN?PM，PM?QN．
43QNDN3
图1 图2 图3
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①如图2，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时QN?33319PM?．所以CQ?CN?QN?4??． 4444②如图3，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 此时QN?3151531PM?．所以CQ?CN?QN?4??． 4444QDDN3??． PDDM4（3）如图4，如图1，在Rt△PDQ中，tan?QPD?在Rt△ABC中，tan?C?BA3?．所以∠QPD＝∠C． CA4由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图4，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图2所示）． 此时PM?4445QN?．所以BP?BM?PM?3??． 33335425CH，可得CQ???． CQ258②如图5，当QC＝QD时，由cosC?所以QN＝CN－CQ＝4?此时PM?257． ?（如图1所示）
8847725． QN?．所以BP?BM?PM?3??3666③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图4，图5所示）．
图4 图5
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2.解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图1，抛物线的对称轴是直线x＝1．
图1
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由
BHPH，BO＝CO，得PH＝BH＝2． ?BOCO所以点P的坐标为(1, 2)． （3）设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图2，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图3，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m??6． 此时点M的坐标为(1,6)或(1,?6)．
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③如图4，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图2 图3 图4
3.解答
（1）如图1，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC?23． 所以点B的坐标为(?2,?23)．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(?2,?23)，?23??2a?(?6)．解得a??所以抛物线的解析式为y??3． 633223x(x?4)??x?x． 663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)． ①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y??23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42?(y?23)2?16．解得y1?y2??23． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42?(y?23)2?22?y2．解得y??23．
如图2，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形． 由y??332323，得抛物线的顶点为D(2,x(x?4)??(x?2)2?)．
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因此tan?DOA?23．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°． 3综合①、②、③，点P的坐标为(2,?23)，如图2所示．
图1 图2
?y??x?7,?x?3, 所以点A的坐标是(3，4)．
4.解答（1）解方程组? 得?4?y?x,?y?4.?3?令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图1，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△ACP?S△POR?8，得
1112．如图2，（3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8．整理，得t?8t?12?0．解得t＝2或t＝6（舍去）
222当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
2013-2014学年度初三数学培优班理解练习卷参备考资料答案解析(因动点产生的等腰三角形问答)
