第2讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1
2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 条件 (2)存在x0∈I，使得 (2)存在x0∈I，使得 自左向右看图象是下降的 f(x0)＝M 结论 f(x0)＝M M为最大值
M为最小值 [疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1) 1 (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) x 1 (4)所有的单调函数都有最值．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( ) (6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P39B组T1改编)函数f(x)＝x－2x的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞)) 2．(必修1P32T4改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 1 解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－. 21??答案：?－∞，－? 2?? 3．(必修1P31例4改编)已知函数f(x)＝最小值为__________． 解析：可判断函数f(x)＝ 2 在[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝x－1 2，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，x－1 2 f(6)＝. 2 答案：2 5[易错纠偏] (1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (3)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y＝log1(x－4)的单调递减区间为________． 2答案：(2，＋∞) 2．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1) －2≤a＋1≤2，?－3≤a≤1，??? 解析：由题意得?－2≤2a≤2，即?－1≤a≤1， ???a＋1>2a，?a<1.所以－1≤a<1. 2 2 5 2 答案：[－1，1) 3．(1)若函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是________； (2)若函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a的值为________． 答案：(1)a≤－3 (2)－3 确定函数的单调性(区间)(高频考点) 函数单调性的判断、证明及单调区间的求法是每年高考的热点，特别是导数的引入，使函数单调性成为每年必考内容．主要命题角度有： (1)求函数的单调区间； (2)判断或证明函数的单调性． 角度一 求函数的单调区间 (2020·杭州七校联考)求函数f(x)＝－x＋2|x|＋1的单调区间． ??－x＋2x＋1，x≥0，【解】 f(x)＝? 2 ?－x－2x＋1，x<0，???－（x－1）＋2，x≥0， ＝? 2 ?－（x＋1）＋2，x<0.? 2 2 2 2 2 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． (变条件)若将本例中函数变为f(x)＝|－x＋2x＋1|，如何求解？ 解：函数y＝|－x＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)． 角度二 判断或证明函数的单调性 设函数f(x)＝x＋＋ln a为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用定义法加以证明． 【解】 (1)因为f(x)＝x＋＋ln a为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 2 2 2 axax 3 ??所以－x－＋ln a＝－?x＋＋ln a?，所以ln a＝0， ? ? 所以a＝1. 1 (2)f(x)＝x＋在区间(1，＋∞)上是增函数． axaxx证明如下：设1＜x1＜x2， 11x1－x2x1x2－1 则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝x1－x2－＝(x1－x2). x1x2x1x2x1x2 因为1＜x1＜x2，所以x1－x2＜0， x1x2－1 ＞0. x1x2 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数． 确定函数单调性的4种方法 (1)定义法：利用定义判断． (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． [提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x C．f(x)＝－ 1 x＋1 B．f(x)＝x－3x D．f(x)＝－|x| 2 解析：选C.当x>0时，f(x)＝3－x为减函数； ?3?2 当x∈?0，?时，f(x)＝x－3x为减函数， ?2??3?2 当x∈?，＋∞?时，f(x)＝x－3x为增函数； ?2? 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 1 为增函数； x＋1 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数． 2．函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) 2 4 C．(1，＋∞) 2 D．(4，＋∞) 2 解析：选D.由x－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D. 3．作出函数y＝|x－1|＋x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间． 2 2 2 ?1?5 解：当x≥1或x≤－1时，y＝x＋x－1＝?x＋?－；当－1 ?2?4 2 2 ?1?252 时，y＝－x＋x＋1＝－?x－?＋.画出函数图象如图所示，由函数图 ?2?4 1??1??象可知，函数的减区间为(－∞，－1]，?，1?，函数的增区间为?－1，?，[1，＋∞)． 2??2?? 函数的最值(值域) (1)函数y＝x＋x－1的最小值为________． 2x－2x＋3 (2)函数y＝2的值域为________． x－x＋1 (3)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________． 【解析】 (1)法一：令t＝x－1，且t≥0，则x＝t＋1， 所以原函数变为y＝t＋1＋t，t≥0. 2 2 2 x?1?3 配方得y＝?t＋?＋， ?2?4 13 又因为t≥0，所以y≥＋＝1， 44故函数y＝x＋x－1的最小值为1. 法二：因为函数y＝x和y＝x－1在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋x－1在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1. 2x－2x＋32（x－x＋1）＋1(2)y＝2＝ x－x＋1x2－x＋1＝2＋ 1 ＝2＋ x－x＋1 2 2 2 2 . 2?x－1?＋3?2?4?? 1 ?1?33 因为?x－?＋≥， ?2?44 2 5
(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数2第2讲函数的单调性与最值教学案
