了。
【例 12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分 10 个档次，生产最低档次(即第 1 档次)的皮鞋每
双利润为 24 元。每提高一个档次， 每双皮鞋利润增加 6 元。最低档次的皮鞋每天可生产 180 双，提高一个档次每天将少生产 9 双皮鞋。 按天计算， 生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？ 最大利润是多少元？ 【解】第 9 档次； 7776 元。
由题意，生产第n ( n=1 , 2,…，10)档次的皮鞋，每天生产的双数为 189— 9n=9X (21- n) 双，每双利润为18+ 6n=6X (3 + n)(元)，所以每天获利润]6x(3 + n) ] x[ 9X [( 21 —n)] =54x (3+ n) x (21 — n)元。
两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（ 3+n ）与（ 21
—n）的和是24,而n=9时，（3+门）与（21 - n）都等于12,所以每天生产第 9档次的皮 鞋所获利润最大，最大利润是
54X（ 3+ 9） X （21 — 9）= 7776 （元）。
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1 ）分数百分数应用题 2） 比和比例
参见例 1 , 2, 3, 4 参见例 5, 6, 7, 8 参见例 9, 10 , 11 , 12
3） 经济浓度问题
课外知识】
勾股定理
勾股定理：在任何一个直角三角形中, 两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
这个定理在中国又称为 \商高定理 \,在外国称为 \毕达哥拉斯定理 \。为什么一 个定理有这么多名
称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。 当时中国的朝代是西周, 是 奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀算经》 中记录着商高 同周公的一段对话。商高说：\…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
呢？在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为 见于商高的话中,所以人们就把这个定理叫作
\什么是\勾、股\
\勾\,下半部分称为 \股\。
3（短边）和 4（长边）
\商高定理 \。
时,径隅（就是弦）则为 5。以后人们就简单地把这个事实说成 \勾三股四弦五 \。由于 勾股定理的内容最早
毕达哥拉斯（ Pythagoras ）是古希腊数学家,他是公元前五世纪的人,比商高 晚出生五百多年。希
腊另一位数学家欧几里德（ Euclid ,是公元前三百年左右的人）在 编著《几何原本》时,认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的,所以他就把这个定理称 为\毕达哥拉斯定理 \,以后就流传开了。
关于勾股定理的发现, 《周髀算经》上说： \故禹之所以治天下者,此数之所由 生也。\此数\指的
是\勾三股四弦五 \,这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系 是在大禹治水时发现的。
勾股定理的应用非常广泛。 我国战国时期另一部古籍 《路史后记十二注》 中就有这 样的记载： \禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海, 无漫溺之患,此勾股之所系生也。 \这段话的意思是说：大禹为了治理洪水,使不决流 江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的 灾害,是应用勾股定理的结果。
作业题
（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1—类型1 ;题2, 4, 5, 6, 8—类型4;题3, 7 —类型5
1、（★★★）某中学，上年度高中男、女生共 290人?这一年度高中男生增加 加5%,共增加13人?本年度该校有男、女生各多少人？ 【解】男生156人，女生147人。
如果女生也是增加 4 %，这样增加的人数是 290X 4%= 11.6 （人）?比13人少1.4人.因 此上年度是 1.4 -（ 5% - 4 %）= 140 （人）?本年度女生有
140X（ 1 + 5%）= 147 （人）.
4%,女生增
2、（★★★）在下图中 AB , AC的长度是15, BC的长度是9.把 BC折过去与 AC重合，B 点落在E点上，求三角形 ADE与三角形 ABC面积之比.
【解】1 : 4. 三角形ADE与三角形EDC面积之比是 （15-9 ）： 9.
3、（★★★）成本 0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售。当销掉 剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的 价打了什么折扣？ 【解】打了 8折.
先销掉80 %，可以获得利润 0.25 X 40%x 1200X 80%= 0.25 X 40%X 1200X 86% =103.2.因此，出售剩下的
每本需要获得利润
7.2 -(1200X 20 %)
现在售价是 0.25 + 0.03 = 0.28
(元)，定价是
= 0.03 (元)。
103.2-96=7.2 (元)，
96.按86%获得利润
80%后,
86%，问剩下的练习本出售时是按定
20%，要获得利润
0.25 X( 1 + 40 %)= 0.35 (元)。 售价是定价的 0.28 -K).35=80%。
4、(★★★)甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的
1
-。那么他们共有多少本书？
6
1
-，如果甲给乙 20
本，那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的
1
【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的4，把差1份，和4份，用和差问题来算一下， 大数为：(4+1)/2=2.5, 小数：(4-1)/2=1.5,, 得甲是2.5份，乙是1.5份，甲与乙的比是5:3.
同理，甲给乙20本后，甲与乙的比是5: 7,思考一下为什么是 5: 7,不要把前后项颠倒了。 因为甲给乙20本书，甲减少多少，乙就增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，我们就把 和的份数统 下，在这里 8与12的最小公倍数是24份：
5: 3=15: 9 5: 7=10: 14
观察比较甲从15份变为10份，是因为少了 20本书，因此每份是4本，共有书就为4 X( 15+9) =96 本。
5、 (★★★)甲、乙、丙三位同学共有图书 5 : 4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比 【解】3 : 5 : 4.
.
108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是
(108+18)-( 5 + 5+ 4 ) = 9
甲、乙、丙三人图书数之比是
(9X5 -18 )：( 9X 5)：( 9X4) =3 : 5 : 4。
6、 (★★★)—个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二 次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起
，第三次是第一次的 2.5 倍，求三个球的体 积之比。
【解】三种球体积之比是 2 : 8 : 11.
设小球体积是 1. 当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球 体积来计算溢出的水量 .
小球时，容器中已经空出体积 1 ，因此中球的体积是 3+1=4. 未取出中球时，水是满的，取出中球后，容器空出体积 4. 再沉入小球和大球溢出水量 是 2.5 ，小球和大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是
体积是 6.5-1=5.5.
三个球的体积之比是 1 ： 4 ： 5.5= 2 : 8 : 11.
4+2.5=6.5 ，而大球的
7、（★★）某种密瓜每天减价 20% ?第一天妈妈按定价减价 20%买了 3个密瓜，第二天妈妈 又买了 5 个密瓜，两天共花了 42元.如这 8 个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？ 【解】第三天买，只要 30.72 元 .
每个密瓜原来定价是
42- [ ( 1-0.2 )X 3+( 1-0.2 )X( 1-0.2 )X 5) ]=7.5
第三天买每个价格是 7.5 X 0.8 X 0.8 X 0.8= 3.84 X 8=30.72 (元).
3.84 (元).
(元)
8. (★★★★) 袋子里红球与白球数量之比是 19： 13。放入若干只红球后，红球与白球
1 3： 1 1 。已知放入的
数量之比变为 5： 3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为 红球比白球少 80 只，那么原先袋子里共有多少只球？
【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只 白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比 较。
红
原来 19
白
39 ：
13=57： ： 加红 5 39
： ：加白 13 3=65 55 11=65： 原来与加红球后的后项统一为 3 与 13 的最小公倍数为 39 ，再把加红与加白的前项统一为
65 与 13 的最小公倍数 65。观察比较得出加红球从 57 份变为 65 份，共多了 8 份，加白球 从 39 份变为 55 份，共多了 16 份，可见红球比白球少加了 8 份，也就是少加了 80 只，每 份为 10 只，总数为( 57+39)X 10=960 只。
小升初数学专项训练比例百分数篇(教师版)(附答案)
