了。
【例 12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分 10 个档次,生产最低档次(即第 1 档次)的皮鞋每
双利润为 24 元。每提高一个档次, 每双皮鞋利润增加 6 元。最低档次的皮鞋每天可生产 180 双,提高一个档次每天将少生产 9 双皮鞋。 按天计算, 生产哪个档次的皮鞋所获利润最大? 最大利润是多少元? 【解】第 9 档次; 7776 元。
由题意,生产第n ( n=1 , 2,…,10)档次的皮鞋,每天生产的双数为 189— 9n=9X (21- n) 双,每双利润为18+ 6n=6X (3 + n)(元),所以每天获利润]6x(3 + n) ] x[ 9X [( 21 —n)] =54x (3+ n) x (21 — n)元。
两个数的和一定时,这两个数越接近,这两个数的乘积越大。上式中,因为( 3+n )与( 21
—n)的和是24,而n=9时,(3+门)与(21 - n)都等于12,所以每天生产第 9档次的皮 鞋所获利润最大,最大利润是
54X( 3+ 9) X (21 — 9)= 7776 (元)。
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型:
1 )分数百分数应用题 2) 比和比例
参见例 1 , 2, 3, 4 参见例 5, 6, 7, 8 参见例 9, 10 , 11 , 12
3) 经济浓度问题
课外知识】
勾股定理
勾股定理:在任何一个直角三角形中, 两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
这个定理在中国又称为 \商高定理 \,在外国称为 \毕达哥拉斯定理 \。为什么一 个定理有这么多名
称呢?商高是公元前十一世纪的中国人。 当时中国的朝代是西周, 是 奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀算经》 中记录着商高 同周公的一段对话。商高说:\…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。
呢?在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为 见于商高的话中,所以人们就把这个定理叫作
\什么是\勾、股\
\勾\,下半部分称为 \股\。
3(短边)和 4(长边)
\商高定理 \。
时,径隅(就是弦)则为 5。以后人们就简单地把这个事实说成 \勾三股四弦五 \。由于 勾股定理的内容最早
毕达哥拉斯( Pythagoras )是古希腊数学家,他是公元前五世纪的人,比商高 晚出生五百多年。希
腊另一位数学家欧几里德( Euclid ,是公元前三百年左右的人)在 编著《几何原本》时,认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的,所以他就把这个定理称 为\毕达哥拉斯定理 \,以后就流传开了。
关于勾股定理的发现, 《周髀算经》上说: \故禹之所以治天下者,此数之所由 生也。\此数\指的
是\勾三股四弦五 \,这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系 是在大禹治水时发现的。
勾股定理的应用非常广泛。 我国战国时期另一部古籍 《路史后记十二注》 中就有这 样的记载: \禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海, 无漫溺之患,此勾股之所系生也。 \这段话的意思是说:大禹为了治理洪水,使不决流 江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的 灾害,是应用勾股定理的结果。
作业题
(注:作业题--例题类型对照表,供参考)
题1—类型1 ;题2, 4, 5, 6, 8—类型4;题3, 7 —类型5
1、(★★★)某中学,上年度高中男、女生共 290人?这一年度高中男生增加 加5%,共增加13人?本年度该校有男、女生各多少人? 【解】男生156人,女生147人。
如果女生也是增加 4 %,这样增加的人数是 290X 4%= 11.6 (人)?比13人少1.4人.因 此上年度是 1.4 -( 5% - 4 %)= 140 (人)?本年度女生有
140X( 1 + 5%)= 147 (人).
4%,女生增
2、(★★★)在下图中 AB , AC的长度是15, BC的长度是9.把 BC折过去与 AC重合,B 点落在E点上,求三角形 ADE与三角形 ABC面积之比.
【解】1 : 4. 三角形ADE与三角形EDC面积之比是 (15-9 ): 9.
3、(★★★)成本 0.25元的练习本1200本,按40%的利润定价出售。当销掉 剩下的练习本打折扣出售,结果获得的利润是预定的 价打了什么折扣? 【解】打了 8折.
先销掉80 %,可以获得利润 0.25 X 40%x 1200X 80%= 0.25 X 40%X 1200X 86% =103.2.因此,出售剩下的
每本需要获得利润
7.2 -(1200X 20 %)
现在售价是 0.25 + 0.03 = 0.28
(元),定价是
= 0.03 (元)。
103.2-96=7.2 (元),
96.按86%获得利润
80%后,
86%,问剩下的练习本出售时是按定
20%,要获得利润
0.25 X( 1 + 40 %)= 0.35 (元)。 售价是定价的 0.28 -K).35=80%。
4、(★★★)甲乙两人各有一些书,甲比乙多的数量恰好是两人总数的
1
-。那么他们共有多少本书?
6
1
-,如果甲给乙 20
本,那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的
1
【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的4,把差1份,和4份,用和差问题来算一下, 大数为:(4+1)/2=2.5, 小数:(4-1)/2=1.5,, 得甲是2.5份,乙是1.5份,甲与乙的比是5:3.
同理,甲给乙20本后,甲与乙的比是5: 7,思考一下为什么是 5: 7,不要把前后项颠倒了。 因为甲给乙20本书,甲减少多少,乙就增加多少,甲乙两人共有书的总数不变,我们就把 和的份数统 下,在这里 8与12的最小公倍数是24份:
5: 3=15: 9 5: 7=10: 14
观察比较甲从15份变为10份,是因为少了 20本书,因此每份是4本,共有书就为4 X( 15+9) =96 本。
5、 (★★★)甲、乙、丙三位同学共有图书 5 : 4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比 【解】3 : 5 : 4.
.
108本.乙比甲多18本,乙与丙的图书数之比是
(108+18)-( 5 + 5+ 4 ) = 9
甲、乙、丙三人图书数之比是
(9X5 -18 ):( 9X 5):( 9X4) =3 : 5 : 4。
6、 (★★★)—个容器内已注满水,有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中;第二 次把小球取出,把中球沉入水中;第三次取出中球,把小球和大球一起
,第三次是第一次的 2.5 倍,求三个球的体 积之比。
【解】三种球体积之比是 2 : 8 : 11.
设小球体积是 1. 当容器水满时,放一个球,就要溢出同样体积的水,因此可以用小球 体积来计算溢出的水量 .
小球时,容器中已经空出体积 1 ,因此中球的体积是 3+1=4. 未取出中球时,水是满的,取出中球后,容器空出体积 4. 再沉入小球和大球溢出水量 是 2.5 ,小球和大球的沉入,水又是满了,因此小球和大球的体积是
体积是 6.5-1=5.5.
三个球的体积之比是 1 : 4 : 5.5= 2 : 8 : 11.
4+2.5=6.5 ,而大球的
7、(★★)某种密瓜每天减价 20% ?第一天妈妈按定价减价 20%买了 3个密瓜,第二天妈妈 又买了 5 个密瓜,两天共花了 42元.如这 8 个密瓜都在第三天买,问要花多少钱? 【解】第三天买,只要 30.72 元 .
每个密瓜原来定价是
42- [ ( 1-0.2 )X 3+( 1-0.2 )X( 1-0.2 )X 5) ]=7.5
第三天买每个价格是 7.5 X 0.8 X 0.8 X 0.8= 3.84 X 8=30.72 (元).
3.84 (元).
(元)
8. (★★★★) 袋子里红球与白球数量之比是 19: 13。放入若干只红球后,红球与白球
1 3: 1 1 。已知放入的
数量之比变为 5: 3;再放入若干只白球后,红球与白球数量之比变为 红球比白球少 80 只,那么原先袋子里共有多少只球?
【解】放入若干只红球前后比较,那白球的数量不变,也就是后项不变;再把放入若干只 白球的前后比较,红球的数量不变,因此可以根据两次变化前后的不变量来统一,然后比 较。
红
原来 19
白
39 :
13=57: : 加红 5 39
: :加白 13 3=65 55 11=65: 原来与加红球后的后项统一为 3 与 13 的最小公倍数为 39 ,再把加红与加白的前项统一为
65 与 13 的最小公倍数 65。观察比较得出加红球从 57 份变为 65 份,共多了 8 份,加白球 从 39 份变为 55 份,共多了 16 份,可见红球比白球少加了 8 份,也就是少加了 80 只,每 份为 10 只,总数为( 57+39)X 10=960 只。
小升初数学专项训练比例百分数篇(教师版)(附答案)
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