基本计数原理、排列与组合
一、知识梳理：
1. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
（1） 如果完成一件事有n类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的
方法，…，在第n类中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。
（2） 如果完成一件事需要n个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同
的方法，…，在第n步中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。
（3） 分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步
才能完成则是_____________。分类要用分类计数原理将种数_________,分步要用分步计数原理将种数_________。它们的共同点___________
2. 排列与组合 （1） 排列
1） 排列的定义_______________________________________ 2） 排列数的定义_______________________________________-] 3） 排列数公式 (2)组合
1） 组合的定义_______________________________________ 2） 组合数的定义_______________________________________-] 3） 组合数公式
4） 组合数的两个性质________ ____、_______ _______ 5）区别排列与组合：排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”而不同点就是前者要“_____________”,而后者却是”______________”.因此“_______”与“________”是区别排列与组合的重要标志。
3.常见的解题策略有以下几种：
（1）特殊元素优先安排的策略 （2）合理分类和准确分步的策略
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略 （4）正难则反、等价转化的策略 （5）相邻问题捆绑的策略 （6）不相邻问题插空处理的策略 （7）定序问题除法处理的策略 （8）分排问题直排处理的策略 （9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 （10）构造模型的策略。 二、典例精析：
题型一：分类加法计数原理、分步乘法计数原理的应用
例1.（1）在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
（2） 已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P（a,b）表示平面上的点（a,b?M） 问：（1）P表示平面上多少个不同的点？
（2） P表示平面上多少个第二象限的点？ （3） P表示多少个不在直线y=x上的点？
题型二：两个计数原理的综合应用
例2.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字比2000大的四位偶数。
题型三：排列数、组合数公式的应用 .(1)(C
1
2100?C)/A;(2)C?C?9710031013334mn?m?1CnCnmm?1m?1 ?C;(3)m?n?m;(4)证明：An?mAn?An+1CnCn310题型四：排列应用题
例4. 7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种排法？
（1）甲排头 （2）甲不排头，也不排尾 （3）甲、乙、丙三人必须在一起 （4）甲乙之间有且只有两人 （5）甲、乙、丙三人两两不相邻
（6）甲在乙的左边（不一定相邻） （7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序 （8）甲不排头，乙不排当中
题型五：组合应用问题
例5. 7名男生和5名女生选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A、B必须当选 （2）A、B必不当选
（3）A、B不全当选 （4）至少有两名女生当选
三、计数原理与排列组合练习题
1、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有___种不同的选法。
2、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共____种不同的走法。
3、为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同种植密度，3种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的实验方案共有____种。
4、某电话局的电话号码为 ，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_______个。 5、4个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示__________种不同的状态，其中至少有一个亮的有__________种状态。 6、（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，则以有序整数对（x、y）为坐标的点共有多少个？（2）若x,y∈N且x+y≤6，则有序自然数对有多少个？
7、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成， （1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？
（2）从中选出两位不同国家的人为成果发步人，有多少种不同选法？
8、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？ （2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？
9、将3封信投入4个不同的信箱，共有_____________种不同的投法；3名学生走进有4个大门的教室，共有__________种不同的进法；3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有______个。
10、在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用， （1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？ （2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？
（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？
11、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供育才中学高三级3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有___________种。
12、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有___________种
2
13、有四位学生参加三项不同的竞赛，
①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有__________种 ②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有__________种
③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有_________种
14、四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有________
15、圆周上有8个等分点，以这8个点为顶点作直角三角形，共可作不同的直角三角形的个数是_____ 17、设直线的方程是Ax?By?0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是_______
19、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有_____________
20、在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是__ 21、高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是______
22、将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有___ 23、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有______
24、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有__________种
25、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有______ 26、用0,1,2,3,4,5六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
3
基础训练A组
一、选择题
1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A．81 B．64 C．12 D．14
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
A．140种 B.84种 C.70种 D.35种
3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
3352323113A．A3 B．4A3 C．A5?A3A3 D．A2A3?A2A3A3
4．a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（ ） A.20 B．16 C．10 D．6
5．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生2人，女生6人 B．男生3人，女生5人 C．男生5人，女生3人 D．男生6人，女生2人.
?x1?6．在??的展开式中的常数项是（ ） ?3x??2A.7 B．?7 C．28 D．?28
37．(1?2x)(2?x)的展开式中x的项的系数是（ ）
58A.120 B．?120 C．100 D．?100
2??8．?x?2?展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
x??A．180 B．90 C．45 D．360
n二、填空题
1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲
一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.
2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.
1064．在(x?3)的展开式中，x的系数是 . 5．在(1?x)展开式中，如果第4r项和第r?2项的二项式系数相等，则r? ，T4r? . 6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？
7．用1,4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x . 4
2208．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？ 三、解答题
1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果. （1）高三年级学生会有11人：
①每两人互通一封信，共通了多少封信？ ②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组10人：
①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？ ②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：
①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？ ②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头， （2）甲不排头，也不排尾， （3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人， （5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻）， （7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序， （8）甲不排头，乙不排当中。
43n?1n?1nn?23．解方程(1)A2x?140Ax; (2)Cn?3?Cn?1?Cn?1?Cn
1?1???74．已知?x2??展开式中的二项式系数的和比(3a?2b)展开式的二项式系数的和大128,求?x2??x?x???展开式中的系数最大的项和系数量小的项.
nn（1+x）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少？ 5．（1）在
n1??（2）?xx??的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项。 3x??
6．已知(2?3x)50?a0?a1x?a2x2?计算(a0?a2?a4?n?a50x50,其中a0,a1,a2?a49)2
,a50是常数,
?a50)2?(a1?a3?a5?
5
高中数学基本计数原理+排列组合二项式定理讲义 习题 练习 答案
