导数运算求解策略
数学家阿达玛说“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家.”数学美感是数学创造性思维中的重要因素之一.所谓数学美感是指人们从事数学研究时最高层次的显意识和潜意识相结合的思维方式，是唤起和激发人的最高享受的心理体验.数学美的基本内容有：简单性、和谐性、奇异性等等.在解题中若能以美启真，以美寻真，能够从解题中领悟到审美感受，从而随之产生解题意向，我们称之为“补美法” .下面结合例题，谈谈在导数运算中如何运用补美技巧解题，进而提高学生的解题能力.
1．追求简单美，由繁琐到精致 拉丁有句格言：“简单是真的标志”.简单美包括计算过程短，推理步骤少，逻辑结构浅显以及解答形式简捷.一个数学问题如果能用简单的知识、简化的方法对其处理或本质洞察，往往能找到解题的简易途径.在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解，公式的正用与逆用都是解决问题的途径，不能偏废.
例1：求函数f(x)??sinx?2x?1?2cos??的导数 2?4?解析：化简f(x)??sinx?xx112x?/1?2cos?sincos?sinx，f(x)?cosx. ??2?4?2222点评：对于本题函数的求导，直接利用函数积的求导法则去求，比较繁琐；应先仔细观
察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”，得到“最美的结果”后再求导.
跟踪练习：（1）求函数f(x)?1?x1?x的导数 ?1?x1?x1?x2例2：求函数f(x)?ln的导数 21?x解析：f(x)?/1?ln?1?x2??ln?1?x2??，
?2?1?111??2x2x??2x2x2/2/?f(x)??1?x?1?x???? ????22?44??2?1?x21?x221?x1?x1?xx?1???点评：对于直接利用复合函数的求导法则去求，比较繁琐；应先根据函数式的结构特点，
适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，“美”在每部分易于求导，再合并.跟踪练习：（2）
x5?x?sinx求函数f(x)?的导数
x22 营造和谐美，由不协调到协调
和谐美又称统一美，是指部分与部分、部分与整体之间的统一与协调.数学推理的严谨性在数学中还表现为一定意义上的不变性，即在不同对象或同一对象的不同组成部分之间存在共同的规律.如利用整体法解决数学问题就是这方面的例子.
例3：若函数
/f(x)??x?1???x?2???x?3????（x?2007）,求f(2007)的值.
解析：本题求解让人有点“无所适从”，造成这种情况主要原因是没有找到解决问题的入手点或具体方法，若仔细观察分析，把前面的?x?1???x?2???x?3????看成一（x?2006）个整体，然后利用积的求导法则，便可迎刃而解，
f(x)??（x?2006）???x?1???x?2???x?3??????x?2007?
f/(x)??（x?2006）（x?2006）????x?1???x?2???x?3??????x?2007?????x?1???x?2???x?3??????x?2007?//??（x?2006）（x?2006）????x?1???x?2???x?3??????x?2007?????x?1???x?2???x?3?????
/！所以f(2007)?0?2006?2005?2004?????1?2006.
点评：通过对问题本质的洞察，将整个函数式分为和谐的两部分再求导，“美在过程”. 跟踪练习：（3）设函数
/f(x)?x?x?1???x?2???x?3????（x?n），求f(x).
/2 构思奇异美，由常规到新颖
奇异性是指数学中的和谐性或统一性在一定条件下的破坏，是数学中的新思想、新理论、新方法对原有的习惯法则和统一格局的突破.培根说：“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异.”在数学解题中，奇异性的存在使得解法能够发挥出乎意料的作用.
例3：函数f(x)??x?1??5?x?1??10?x?1??10?x?1??5?x?1??1，求其在x??1处的导数值.
解析：本题常规方法是利用多项式的导数运算法则，先逐个求导，然后再求f(?1)；但若仔细观察每个多项式的系数，其中把1、5、10、10、5、1换成C5、C5、C5、C5、C5、
/4x?1?1?x?C55无不渗透着补美的印记，则f(x)??f(x)?5x，所以，从而函数????012345432/55在x??1处的导数值f(?1)?5.
跟踪练习（4）已知函数f(x)??x?1?10/，其中
?x?1?10可展为
?x?1?10?a0?a1x?a2x?????a10x的形式，ai?i?0,1,2,???10?为实常数，求：
210?nan?110n
提示：对函数的两种形式分别求导得 f/(x)?10(x?1)9?a1?2a2x?????10a10x9，由此联想到f(1)??nan，美在和式?nan有特殊的的意义，故?nan?5120.
/n?1n?1n?1101010
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