1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词
【学习目标】
课程标准 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 学科素养 1、逻辑推理 2、数学抽象 【自主学习】
1. 全称量词与全称命题
全称量词 符号 全称命题 形式 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 ? 含有 的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“ ” 2. 存在量词与特称命题 存在量词 符号表示 特称命题 形式
【小试牛刀】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( ) (2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．( ) (3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．( ) (4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( )
(5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
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存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 ? 含有 的命题 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“ ”
【经典例题】
题型一 全称命题与特称命题的辨析
例1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． (4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．
[跟踪训练] 1 将下列命题用“?”或“?”表示． (1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；
题型二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 例2 判断下列全称量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)?x∈R，有|x＋1|>1.
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[跟踪训练] 2 判断下列存在量词命题的真假． (1)有的集合中不含有任何元素． (2)存在对角线不互相垂直的菱形． (3)?x∈R，满足3x2＋2>0. (4)有些整数只有两个正因数．
题型三 由含量词的命题求参数
例3 已知命题“?1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
[变式] 若把本例中的“?”改为“?”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[跟踪训练] 3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
【当堂达标】
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1．给出下列四个命题：
1
①y＝x?xy＝1；②矩形都不是梯形；③?x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．
其中全称量词命题是________．
2．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
3．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________ _____． 4．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“?”或“?”符号表示为________ ________． 5．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．
6. 命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
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【参考答案】
【自主学习】
全称量词 ?x∈M，p(x) 存在量词 ?x0∈M，p(x0) 【小试牛刀】
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 【经典例题】
例1 解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含有量词“存在”，是存在量词命题． [跟踪训练] 1 (1)?x∈R，x2≥0. (2)?x0<0，ax20＋2x0＋1＝0(a<0)．
例2 [解] (1)因为2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“?x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．
[跟踪训练] 2 (1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． (2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)?x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“?x∈R,3x2＋2>0”是假命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． 例3 [解] ∵“?1≤x≤2，x2－m≥0”成立， ∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m. ∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
[变式] [解] ∵“?1≤x≤2，x2－m≥0”成立， ∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．
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1.5.1 全称量词与存在量词-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册） - 图文
