2021年高考数学总复习第32讲：数列求和
an1
1．(2020·山东聊城期中)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝－(n∈N*)．
22(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求出{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋log2(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn. an1
(1)证明 因为a1＝1，an＋1＝－(n∈N*)
2211an＋21an＋1＋12
所以＝＝(n∈N*)，
an＋1an＋12
1
又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为的等比数列．
21?n－1?1?n－2
?1?n－2－1. 所以an＋1＝2×?＝，即an＝?2??2??2?
1?n－2
?1?n－2＝?1?n－2－n＋1， (2)解 由(1)得bn＝an＋log2(an＋1)＝?－1＋log2
?2??2??2?1?－1
?1?0－1＋?1?1－2＋…＋?1?n－2＋n－1＝?1?－1＋?1?0＋?1?1＋…＋所以Sn＝?＋0＋?2??2??2??2??2??2??2??1?n－2＋[0－1－2－…(－n＋1)]
?2??1?n?2×?1－??2??n[0＋?－n＋1?]1?n－2n2－n?＝＋＝－?2?－＋4. 1221－2
2．(2020·山东滨州三校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝25，a2是a1和a5的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝2an，证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为a2是a1和a5的等比中项，所以a22＝a1·a5， 设数列{an}的首项为a1，公差为d， 则(a1＋d)2＝a1·(a1＋4d)，
即2a1d＝d2，∵d≠0，∴2a1＝d，① 5×4dS5＝5a1＋＝25，整理得a1＋2d＝5，②
2(或S5＝5a3＝25，∴a3＝5＝a1＋2d)
??a1＝1
由①②解得?，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
?d＝2?
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(2)bn＝2an＝22n1， bn＋122n1
因为＝＝4，
bn22n－1
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，4为公比的等比数列， 所以数列{bn}的前n项和为Tn＝2＋2＋2＋…＋2
1
3
5
2n－1
＋
－
2?1－4n?2n＝＝(4－1)．
31－4
3．(2020·山东德州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an>0,4Sn＝ a2n＋2an>0. (1)求数列{an}的通项公式；
S1－Sn
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
Sn·S1
2
解 (1)当n＝1时，4a1＝a21＋2a1，整理得a1＝2a1，
∴a1＞0，解得a1＝2；
当时n≥2时，4Sn＝a2n＋2an①， 可得4Sn－1＝a2n－1＋2an－1②，
2①－②得4an＝a2n－an－1＋2an－2an－1， 2－a2)－2(a＋a即(ann－1nn－1)＝0，
化简得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因为an＞0，∴an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2，
从而{an}是以2为首项，公差为2的等差数列，所以an＝2＋2(n－1)＝2n. n?a1＋an?n?2＋2n?(2)由(1)知Sn＝＝＝n(n＋1)，
22S1－Sn1111111
因为bn＝＝－＝－＝－－，
Sn·S1SnS1n?n＋1?2nn＋12
11?1?11??11?11?1?11?1
－－＋－－＋…＋?n－－－∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝??12?2?23?2?n＋1?－2＝?12?＋?23?11111
＋…＋?n－n＋1?－n＝1－－n.
??2n＋12
4．(2020·山东济南章丘四中月考)已知{an}是公差为3的等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求{anbn}的前项和Tn.
解 (1)等差数列{an}的公差为3，等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2＋b3＝12得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2， 所以q2＋q－6＝0.
又因为q>0，解得q＝2. 所以bn＝2n.
a1＋a112a6S11＝×11＝×11＝11a6＝11(a1＋5d)＝11b4＝11×24，
22
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2021年高考数学总复习第32讲：数列求和练习题及答案解析
