（3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论. ADBNCM
2解：（1）△NDA，a. （2）由（1）可得所以
BMAB?， ADNDBMDC?． BCDN易证∠CBM＝∠NDC＝45°， 所以△BCM∽△DNC． 则∠BCM＝∠DNC，所以
∠MCN =360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN ＝270°－ （∠DNC+∠DCN） ＝270°－（180°－∠DNC） ＝135°．
（3） BM?DN?MN，证明如下：
如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连结EM. 易得AE＝AN. ∠MAE＝∠MAN＝45°，∠EBM＝90°， 所以△A ME≌△AMN.（SAS）. 则ME＝MN．
在Rt△BME中，BM?BE?EM 所以BM?DN?EM.
222222222ADBNCM
E 倒3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°.若CD＝4，求△ABE的面积.
6
BCEA图1D
解：如图1．过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由∠DAC=45°，∠ADC＝90°，可得AD＝CD.
所以四边形ADCF为正方形. 从而AF＝ FC＝4．
令BC＝m，则AB＝4＋m，BF＝4－m．
22
在Rt△AFB中，有16＋（4－m）一（4＋m） 所以AB＝5，BF＝3．
如图2．将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH≌△AEB．
令DE＝n，则CE＝4 －n，BE＝BG＝3＋n
在Rt△BCE中，有1+（4－n）＝（3＋n），解得n＝所以BG＝
2
2
4. 725. 7150AFBG?. 27从而S?ABE?S?ABG?GFBCEA图2D
进阶训练
1.如图，等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN ＝60°，求△AMN的周长．
7
ANMBDC
△AMN的周长是2
【提示】如图，延长AC至点E，使得CE ＝BM，连结DE .先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN即可.
ANMBDCE
2．如图，在正方形ABCD中，连结BD，E、F是边BC，CD上的点，△CEF的周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
ANFMB2
2
2
DEC
解：BM＋DN＝MN．
【提示】由△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证△AEF≌△AGF，得∠MAN＝直角三角形含半角”（如图2）即可证得．
1∠BAD＝4，然后，再由“等腰2 8
GANNFMBE图1CBME图2DAHGDFC
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，DE⊥BC于点E，且DE＝BC，点F在边AC上，连结BF交DE于点G，若∠DBF＝45°，DG＝
27，BE＝3，求CF的长． 5ADGBEFC
解：CF＝
12． 5HDA【提示】如图，将DE向左平移至BH，连结HD并延长交AC于点I，则四边形HBCI为正方形．将△BHD绕点B顺时针旋转90°至△BCJ，则点J在AC的延长线上．连结DF，由“正方形角含半角模型”可得DF＝DH＋CF，∠DFB＝∠JFB＝∠DGF，所以DF＝DG，从而求得CF的长．
IGBEFCJ 9
中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型
