第8讲 二项式定理
1.已知(x＋1)＋(x－2)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)＋…＋a9(x－1)9，则a7＝( ) A.9 B.36 C.84 D.243
2.(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( ) A.6 B.7 C.8 D.9
3.(2019年新课标Ⅲ)(1＋2x2 )(1＋x)4的展开式中x3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24
a1a2a2009
4.若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则＋2＋…＋2009的值为( )
222
A.2 B.0 C.－1 D.－2
5.若a＜0，(x－2y)(ax＋y)5的展开式中，x4y2的系数为－20，则a等于( )
35
A.－1 B.－ C.－2 D.－
22
6.(2015年湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.212 B.211 C.210 D.29
1
x＋－1?6的展开式中，含x5项的系数为( ) 7.在??x?
A.6 B.－6 C.24 D.－24
1?5
8.(2018年天津)在?x－的展开式中，x2的系数为____________.
?2 x?
5
9
2
?1?9.(2018年浙江)二项式?3x＋?8的展开式的常数项是________.
2x??
10.(2017年浙江)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1＋a5，则a4＝________，a5＝________.
1
1＋x＋2015?10的展开式中，x2项的系数为________.(结果用数值表示) 11.(2015年上海)在?x??12.已知m是常数，(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝
33，则m＝________.
13.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)( ) A.26 B.29 C.212 D.215
14.(多选)若(2x＋1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…a10x10，x∈R，则( ) A.a0＝1 B.a0＝0
C.a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310 D.a0＋a1＋a2＋…＋a10＝3
15.设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. (1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)求a0＋a2＋a4； (3)求a1＋a3；
(4)求a1＋a2＋a3＋a4； (5)求各项二项式系数的和.
第8讲 二项式定理
1．B 解析：令t＝x－1，则(x＋1)5＋(x－2)9＝(t＋2)5＋(t－1)9，只有(t－1)9中展开式含有t7项，∴a7＝C29＝36.故选B.
r
2．B 解析：二项式(1＋3x)n展开式的通项公式为Tr＋1＝3rCrnx，
66
∴x5与x6的系数分别为35C5n，3Cn.
6656
由条件知：35C5n＝3Cn，即Cn＝3Cn，
n！n！∴＝3· 5！?n－5?！6！?n－6?！∴n＝7.故选B.
13．A 解析：由题意得x3的系数为C34＋2C4＝4＋8＝12.故选A. 1a1a2a2009a1a2
4．C 解析：令x＝0，则a0＝1，令x＝，则a0＋＋2＋…＋2009＝0，则＋2＋…＋222222
a2009
＝－1.故选C. 22009
32
5．A 解析：x4y2可以看作由x(x3y2)与y(x4y)构成，则(x－2y)(ax＋y)5的展开式中，xC25(ax)y1(ax)4y＝－20x4y2，可得10a3(1－a)＝－20，即a3(1－a)＝－2，结合选项验证， a＝－1.－2yC5
故选A.
3＝C7.解得n6．D 解析：∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴Cnn
1
＝10.∴二项式(1＋x)10中奇数项的二项式系数和为×210＝29.
2
1?1?6－C6?x＋1?5＋C2?1?4＋…－C5?1?61·x＋－1?6＝C07．B 解析：∵?6·x＋6·x＋6·x＋＋C6，?x??x??x??x??x?1?1?5含有 x＋－1?6的展开式中含有x5项的系数，只有－C1要求?6·x＋?x??x?11x＋－1?6的展开式中含有x5项的系数为－C0∴?5C6＝－6.故选B. ?x?
1?r?1?rr5－3r55－r?－8. 解析：结合二项式定理的通项公式有：Tr＋1＝Cr＝－Cx，令55x2?2 x??2?52
135－?2C2－r＝2，可得r＝2，则x2的系数为：?5＝. ?2?22
?1???6?1?2＝8×7×?1?2＝7. 9．7 解析：二项式?3x＋?8的展开式的常数项是C28?3?x?2x?1×2?2?2x??
10．16 4 解析：多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，(x＋1)3中，x的系数是3，常数是1；(x＋2)2中x的系数是4，常数是4，则a4＝3×4＋1×4＝16，a5＝1×4＝4.
111921＋x＋2015?10＝??1＋x?＋2015?10＝(1＋x)10＋C111．45 解析：∵?10(1＋x)2015＋…，∴xx?x???x
28
项只能在(1＋x)10展开式中，即为C810x，系数为C10＝45.
12．3 解析：所给的等式(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0中， 令x＝0可得：a0＝－1，
令x＝1可得：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a0＝(m－1)5，
结合题意有： 33＋(－1)＝(m－1)5，求解关于实数m的方程可得：m＝3. 13．C 解析：f(x)展开式中一次项系数为a1·a2·a3…a8＝(a1a8)4＝212.故选C. 14．AC
15．解：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.
(3)由(2)，得(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)－(a0＋a2＋a4)＝a1＋a3＝－120.
(4)令x＝0，得a0＝1，则a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.
12344
(5)各项二项式系数的和为C04＋C4＋C4＋C4＋C4＝2＝16.
2021届高考数学一轮复习训练第8讲二项式定理
