第三节 等比数列及其前n项和
[最新考纲] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．
(对应学生用书第99页)
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1*
＝q(n∈N，q为非零常数)． an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G＝ab.
2．等比数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1q(2)前n项和公式：
n－1
2
.
na1q＝1，??
Sn＝?a11－qna1－anq＝q≠1.?1－q?1－q3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m
(n，m∈N)．
2
*
*
(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝as，其中m，n，p，q，s，r∈N.
?1??an?2
??，??(λ≠0)(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{an}，{an·bn}，
?an?
?bn?
仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为q.
(5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列． [常用结论]
1．“G＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kq(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. 1－qn2
ka1
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N，q为常数)的数列{an}为等比数列．
2
*
( ) ( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b＝ac.
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． ( ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编
1．等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于( ) 81
A．27 B．36 C. D．54
2
a4183?3?812
C [公比q＝＝＝，则a6＝a4q＝18×??＝.]
a31222?2?
39
2．在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1，q的值分别为( )
221
A．6，
23C.，1 2
－2
－1
2
1
B．6，－
231D.，1或6，－ 22
D [由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q＋q＋1)，得
q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
1
解得q＝1或q＝－.
2
31
当q＝1时，a1＝；当q＝－时，a1＝6，
22故选D.]
3．7＋35与7－35的等比中项为________． ±2 [由G＝(7＋35)(7－35)＝4得G＝±2.]
4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________． 27,81 [设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q，q＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]
3
32
(对应学生用书第99页)
⊙考点1 等比数列的基本运算
(1)等比数列基本运算的通法是设出首项a1和公比q，通过方程组求出结果，进而
解决问题，体现了方程的思想．
(2)在使用等比数列前n项和公式时，应注意判断公比q是不是1，从而选择不同的求和公式．
(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5
＝3a3＋4a1，则a3＝( )
A．16 B．8 C．4 D．2 (2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. (1)C [(1)设正数的等比数列{an}的公比为q，
??a1＋a1q＋a1q＋a1q＝15，则?42
??a1q＝3a1q＋4a1，??a1＝1，解得?
??q＝2，
2
3
∴a3＝a1q＝4，故选C.]
n－1
2
(2)[解] ①设{an}的公比为q，由题设得an＝q4
2
.
由已知得q＝4q，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)
n－1
或an＝2
n－1
.
n②若an＝(－2)
n－1
1－－2
，则Sn＝
3
m.
由Sm＝63得(－2)＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2
n－1
1－2nm，则Sn＝＝2－1.由Sm＝63得2＝64，解得m＝6.
1－2
n综上，m＝6.
把S4表示成S4＝a1＋a1q＋a1q＋a1q，不需要考虑q是不是1的情况，如本例T(1)．
[教师备选例题] 5已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝( ) 2A．2 B．4 C.2 D．22 B [设等比数列的公比为q，由题意知0＜q＜1， 5由a3＝1，a2＋a4＝得， 22
3
2021高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和教学案文北师大版
