共同点：
①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
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1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4， 0)，B(?2，0)，E(0，8)．（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点
A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平
方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方
向分别向下、向上运动，直到点A与点D重
合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点A(?4，0)，点B(?2，0)，点E(0，8)关于原点的对称点分别为
D(4，0)，C(2，0)，F(0，?8)．
设抛物线C2的解析式是
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y?ax2?bx?c(a?0)，
?16a?4b?c?0，?则?4a?2b?c?0， ?c??8．?，?a??1?解得?b?6，
?c??8．?所以所求抛物线的解析式是y??x2?6x?8． （2）由（1）可计算得点M(?3，?1)，N(31)，． 过点N作NH?AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t．
根据中心对称的性质OA?OD，OM?ON，所以四边形MDNA是平行四边形．
所以S?2S△ADN．
所以，四边形MDNA的面积S?(8?2t)(1?2t)??4t2?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t?4． 所以，所求关系式是S??4t2?14t?8，t的取值范围是0≤t?4．
7?81（3）S??4?（0≤t?4）． t????，
?4?4所以t?时，S有最大值
7481． 4提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当
AD?MN时四边形MDNA是矩形．
所以OD?ON．所以OD2?ON2?OH2?NH2．
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所以t2?4t2?2?0．解之得t1?6?2，t2??6?2（舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2． [点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y??x2?bx?c与坐标轴交于点A的横坐标为?1，过点C(0，3)的直线y??A，B，C三点，
3x?3与x轴4t34交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH?OB于点H．若PB?5t，且0?t?1．
（1）确定b，c的值：b?_____，c?_____；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：
B(___，___)，Q(___，___)，P(___，___)；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存
y在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
9[解] （1）b?
4 c?3
C P A O Q HB x （2）B(4，0) Q(4t，0) P(4?4t，3t)
（3）存在t的值，有以下三种情况 ①当PQ?PB时
QPH?OB，则GH?HB ?4?4t?4t?4t
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?t? ②当PB?QB时 得4?4t?5t ?t? ③当PQ?QB时，如图
解法一：过Q作QD?BP，又PQ?QB
BP5 则BD??t
224913C P D 又△BDQ∽△BOC
BDBQ ?BOBC5t4?4t ?2?
4532 ?t?
57 ?O Q
B
解法二：作Rt△OBC斜边中线OE 则OE?BE，BE?BC5?， 22 此时△OEB∽△PQB C BEOB? ? BQPBP E 54 ?2?
4?4t5t32 ?t?
57O Q B
? PQ2 解法三：在Rt△PHQ中有QH2?PH2CP ?(8t?4)2?(3t)2?(4?4t)2 ?57t2?32t?0
O HQ B
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中考数学 二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）
