习 题
2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值
Ai4.2?，若质量块受激振力F(t)?360cos3tN的作用，求系统的稳态响应。 Ai?11解：由题意，可求出系统的运动微分方程为
2???pn??xx?2nx360cos3t m得到稳态解
其中
x?Bcos(3t??)
B?B0(1??2)2?4?2?2tg??B0?360?0.45m k
2n?2??? 2pn??21??2Ai?4.2?enTd Ai?1 2πpd??3.489Td2pn?n2
由
??ln??nTd
Td?1.8ln?n??0.797Td又 有
pd?22pn?pd?n2pn?3.579
????
?pn?3?0.8383.579n0.797??0.223pn3.5790.45(1?0.838)2?4?0.2232?0.83822?0.223?0.8380.374??1.25520.2981?0.838?0.45?1.103 0.408B?tg????51.45?所以
2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率?1 =6rad/s时，系统发生共振；给
x＝1.103 cos(3t－51?27?)
质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率?2 =5.86rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k 由
pn?k，共振时pn??1?mk 所以 6?mk m ①
又由 当 pn??2?k?5.86 ② m?1①与②联立解出 m＝20.69 kg，k＝744.84 N/m
2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度?st，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为?时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
解：列出平衡方程可得：
W?k(?st?x)?Q2Wwesinwt?xgg
WQx?kx?w2esin(wt??)ggkgQx?x?w2esin(wt??)WWPn?kgWW所以：， 又因为W?k?st即k? ?stQ2h?weW将结果代入B?Qw2e?stB=W(g?w2?st)即为所求的振幅
h?Pn2?W2?2得：
2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力F(t)?F0sin?t，弹簧支承端有运动
xs?acos?t，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。
题2-4图
解：选xs?0时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图， 则 mx?k(x?xs)?p(t) 即 mx?kx?kxs?p(t)
?kcaos即 mx?kxw?t0spin wt*）p0改成F0，下面也都一样 （
利用复数求解 ， 用 ejwt代换sinwt 并设方程（*）的特解为
x(t)?Bejwt 代入方程（*）得B?p0?jkaj? ?Be2k?mw其中B为振幅，?为响应与激励之间的相位差，有
22p02?k2a2?p0??ka??=B?B????22?2?222?k?mw??k?mw?m?pn?w?p0242?pan2m?422pn?1???p02?a242pnm?1???22
1?1??2p022。 ?a2kka2kaka?k?mw tg? ???arctg ?p0pp002k?mw1 ?x(t)?Bsin?wt????1??2其中
?p02ka?2?asinwt?arctg?? k2p0????wk ,pn?pnm2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力F0sin?t，求质量块的振幅。
解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，
x?x1?x2 （A）
由图（1）和图（2）的受力分析，得到
k1x1?k2x2?P0sin?t （B）
题2-5图
???k2x2 （C） m?x
???x联立解得，m?k1k2k2x?P0sin?t k1?k2k1?k2???xk1k2k2x?P0sin?t
(k1?k2)m(k1?k2)m所以pn?k1k2，n = 0，得，
m(k1k2)B?h(p??)?(2n?)2n222?Hk1(1??)?(2??)222?P0k111?(?pn
)2
2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力F0sin?t，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2)??等于固有频率pn的一半。
解：图（1）为系统的静平衡位置，以?为系统的广义坐标，画受力如图（2）
题2-6图
XA
A YA
F0sin?t
?
mg
FC
B
FK
????2l?c?(2l???)?3l?k(??3l)?3lFsin?t I?0???4c????k??3Fsin?t 又 I＝ml2 ??0mmml则
?29kpn??m???2n?4c,?m?h?3F0ml
B??h2(pn??2)2?(2n?)2B?lB??1）系统共振，即 pn??
hl2(pn??2)2?(2n?)2
?B?(3F0/ml)?lF0hl??2npn4c4c9k?mmm k2）??1pn 2hl?32?2?pn??(npn)?4?2
?B??3F0?lml4c29k?27k????2mm?4m?2?4F09k11?64c81mk2
2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率pn、阻尼比?及稳态响应振幅。
题2-7图
解：以刚杆转角?为广义坐标，由系统的动量矩定理
????k(l??xs)l?cl2?? 4l2m????即 ?ckka?????sin?t 4m4ml令，pn?knc?cka?，2n?，??，h?，??得到
4mpn8mpnpn4m4mlB??ka?2l4ml2pn(1?h(p??)?(2n?)2a2n222
B?B?2l??22)?(22pnn?2)pnpn?(1??)?(2??)222
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
