第 16 页 共 19 页
(2) 0?F(x)?f(x)?f(a)?f(b) 证（1）
F?(x)?(x?a)f(x)??f(t)dt(x?a)a2x积分中值定理(x?a)f(x)?f(ξ)(x?a) 2??（a,x）(x?a)f(x)?f(ξ)?x?a由f?(x)?0知f(x)单调减,即在(a ,b)内当??x时有f(x)?f(?)又(x?a)?0可得
F?(x)?0.即F(x)在(a ,b)内单调减.
(2)因F(x)?f(x)?1xf(t)dt?f(x)?ax?a
积分中值定理f(ξ）?f(x)?0又由f(x)单调减 知,f(a)?f(?)?f(x)?f(b)于是有
0?F(x)?f(x)?f(a)?f(b)
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
第 17 页 共 19 页
《微积分》试卷（F卷）
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
?x2; x?11. 设函数f?x???在x?1处可导，则（ ）
ax?b;x?1? A. a?0,b?1 B. a?2,b??1 C. a?3,b??2 D.a??1,b?2
22. 当x?0时，1?cosx是关于x的（ ）.
A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小. 3. 若广义积分
? ??dxx?lnx?k 2收敛，则（ ）
A. k?1 B. k?1 C. k?1 D. k?1 4. limex??11x?1?()
A． 0 B.? C.不存在 D.以上都不对
5.函数f(x)具有下列特征：f(0)?1,f?(0)?0，当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?则f(x)的图形为（ ）。 y y y y ??0,x?0
??0,x?01 o o 1 o 1 o 1 x x x x (A) (B) (C) (D)
6. 6.设f(x)在
(??,?)内二阶可导，若f(x)??f(?x)，且在(0,?)内有
f?(x)?0,f??(x)?0,则f(x)在(??,0)内有（ ）
A.
f?(x)?0,f??(x)?0, B.f?(x)?0,f??(x)?0,
f?(x)?0,f??(x)?0.
C.f?(x)?0,f??(x)?0, D.
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
第 18 页 共 19 页
二、填空（每小题3分，共18分）
1.
sinx? 。 limxx??2x?1?x?2． lim??= 。
x???x?3. 已知f?(x0)存在，则
limh?0f(x0?h)?f(x0?h)? 。
h4．设y?ln(x?1)，那么y(n)(x)? 。
d0t2edt? 。 5．
dx?x26．某商品的需求函数Q?75?P2，则在P＝4时，需求价格弹性为?P?4? ，收入对价格的弹性是
ER? 。
EPP?4三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分） 1．
?limx???x0arctantdtx?12 2． 3． 4．
?401dx
1?sinx?e1xlnxdx
dx?x(1?x6)
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
第 19 页 共 19 页
5．求由6．已知
? y 0etdt??costdt?0所决定的隐函数y?y?x?的导数
0 xdy. dxsinx是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。 x7．求由曲线y?x2?1与直线y?x?1所围成的平面图形的面积。
8．求由曲线y?x3与x?1,y?0所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。
四、(12分)列表分析函数y?ln(1?x2)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。
五、（B类8分） 设f?x?连续，证明：
? uf?t?dt?du? x?x?u?f?u?du
? 0?? 0??? 0?
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
x
微积分试卷及答案6套
