第3课时 三角形中的几何计算
学 习 目 标 1.掌握三角形的面积公式的应用(重点). 核 心 素 养 1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养. 2.掌握正、余弦定理与三角函数公2.借助三角形中的综合问题的学习，提式的综合应用(难点)． 升学生的数学抽象的素养.
1．三角形的面积公式
111(1)S＝2a·ha＝2b·hb＝2c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)； 111(2)S＝2absin C＝2bcsin A＝2casin B； 1
(3)S＝2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？
[提示] (1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．
2．三角形中常用的结论 A＋BπC(1)A＋B＝π－C，2＝2－2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C， π??
tan(A＋B)＝－tan C?C≠2?，
??
1
sin
A＋BC＝cos 22，
A＋BCcos 2＝sin 2．
1．下列说法中正确的是________(填序号)．
①已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；
②在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则A＝60°；
③在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6； ④在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B. 1
③ [①中三角形的面积S＝2(a＋b＋c)r. 13
②由S＝2bcsin A可得sin A＝2， ∴A＝60°或120°.
π
④在△ABC中由sin 2A＝sin 2B得A＝B或A＋B＝.]
2
2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积为________． ab193 [由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由sin A＝sin B知b＝6，∴S＝2absin 3
C＝18×2＝93.]
3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝153，△ABC的外接圆半径为3，则边c的长为________．
13
3 [由题知S△ABC＝2absin C＝153得sin C＝2. c3
又由sin C＝2R得c＝23×2＝3.]
2
三角形面积的计算 π【例1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝3，cos A4
＝5，b＝3.
(1)求sin C的值； (2)求△ABC的面积．
[解] (1)∵角A，B，C为△ABC的内角， π42π3且B＝3，cos A＝5，∴C＝3－A，sin A＝5. 3＋4331?2π?
∴sin C＝sin?3－A?＝2cos A＋2sin A＝10.
??3＋433
(2)由(1)知sin A＝5，sin C＝10. π
又∵B＝3，b＝3，
∴在△ABC中，由正弦定理得a＝
bsin A6
＝. sin B5
3＋4336＋93116
∴△ABC的面积S＝2absin C＝2×5×3×10＝50.
1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式．
2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．
22
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝3，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为( )
3
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