第3课时 三角形中的几何计算
学 习 目 标 1.掌握三角形的面积公式的应用(重点). 核 心 素 养 1.通过三角形面积公式的学习,培养学生的数学运算的素养. 2.掌握正、余弦定理与三角函数公2.借助三角形中的综合问题的学习,提式的综合应用(难点). 升学生的数学抽象的素养.
1.三角形的面积公式
111(1)S=2a·ha=2b·hb=2c·hc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高); 111(2)S=2absin C=2bcsin A=2casin B; 1
(3)S=2(a+b+c)·r(r为内切圆半径).
思考:(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗? (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗?
[提示] (1)适用.三角形的面积公式对任意的三角形都成立.(2)能.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角,再根据面积公式求解.
2.三角形中常用的结论 A+BπC(1)A+B=π-C,2=2-2; (2)在三角形中大边对大角,反之亦然;
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)三角形的诱导公式
sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, π??
tan(A+B)=-tan C?C≠2?,
??
1
sin
A+BC=cos 22,
A+BCcos 2=sin 2.
1.下列说法中正确的是________(填序号).
①已知三角形的三边长为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积S=(a+b+c)r;
②在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=3,则A=60°;
③在△ABC中,若a=6,b=4,C=30°,则S△ABC的面积是6; ④在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B. 1
③ [①中三角形的面积S=2(a+b+c)r. 13
②由S=2bcsin A可得sin A=2, ∴A=60°或120°.
π
④在△ABC中由sin 2A=sin 2B得A=B或A+B=.]
2
2.在△ABC中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC的面积为________. ab193 [由题知A=180°-120°-30°=30°,由sin A=sin B知b=6,∴S=2absin 3
C=18×2=93.]
3.在△ABC中,ab=60,S△ABC=153,△ABC的外接圆半径为3,则边c的长为________.
13
3 [由题知S△ABC=2absin C=153得sin C=2. c3
又由sin C=2R得c=23×2=3.]
2
三角形面积的计算 π【例1】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=3,cos A4
=5,b=3.
(1)求sin C的值; (2)求△ABC的面积.
[解] (1)∵角A,B,C为△ABC的内角, π42π3且B=3,cos A=5,∴C=3-A,sin A=5. 3+4331?2π?
∴sin C=sin?3-A?=2cos A+2sin A=10.
??3+433
(2)由(1)知sin A=5,sin C=10. π
又∵B=3,b=3,
∴在△ABC中,由正弦定理得a=
bsin A6
=. sin B5
3+4336+93116
∴△ABC的面积S=2absin C=2×5×3×10=50.
1.由于三角形的面积公式有三种形式,实际使用时要结合题目的条件灵活运用,若三角形的面积已知,常选择已知的那个面积公式.
2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积,否则先用正、余弦定理求出需要的边或角,再套用公式计算.
22
1.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=3,a=3,S△ABC=22,则b的值为( )
3
19-20版 第1章 1.2 第3课时 三角形中的几何计算
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