用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数
构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质. 1 高考真题
真题 设函数f?(x)是奇函数f(x)(x?R)的导函数，f(?1)?0，当x?0时，xf?(x)?f(x)?0，则使得
f(x)?0成立的x取值范围（ ）.
A. (??,?1)(0,1) B. (?1,0)(1,??) C. (??,?1)(?1,0)D. (0,1)(1,??)
xf?(x)?f(x)f(x)，则F'(x)?. xx2因为x?0时，xf?(x)?f(x)?0，所以F'(x)?0,即当x?0时，F(x)单调递减.
解析：设F(x)?f(x)为偶函数，且F(?1)?F(1)?0, x则当x?0时，F(x)单调递增.当x?(??,?1)时，F(x)?0，f(x)?0.当x?(0,1)时，F(x)?0，f(x)?0.所以f(x)?0成立的x取值范围(??,?1)(0,1)，即答案为A..
又因为f(x)为奇函数，且f(?1)?0，所以F(x)? 上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵. 此其题表面看上，不知道如何入手，解决问题. 因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有f?(x)和f(x)，更是难上加难. 从试题的解析可以看出，巧妙地构造出了函数F(x)，通过分析F(x)的单调性和奇偶性，解答问题. 解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出F(x)?的本质，这里对以下例题进行分析. 2 巧构导函数的原函数
0.20.2例 1 已知函数f(x)的图像关于y轴对称，且当x?(??,0)时，f(x)?xf?(x)?0成立，若a?2?f(2)，
f(x)，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题xb?log?3?f(log?3)，b?log39?f(log39)，则a,b,c的大小关系（ ） A. b?a?c B. c?a?b C. c?b?a D. a?b?c
解析：设F(x)?xf(x)，则F'(x)?f(x)?xf?(x).因为x?0时，f(x)?xf?(x)?0，所以F'(x)?0,则F(x)单调递减.又因为函数f(x)的图像关于y轴对称，F(x)当x?0时，所以f(x)为奇函数，当x?0时，
0.2单调递减.又因为1?2?2，0?log?3?1，log39?2，则b?a?c，即答案为A.
例 2已知函数f(x)满足：f(x)?2f?(x)?0，那么系列不等式成立的是（ ） A. f(1)?f(0)e B. f(2)?1x2f(0)2 C. f(1)?ef(2) D. f(0)?ef(4) e11xxx11解析：设F(x)?2ef(x)，则F'(x)?2[e2f(x)?e2f?(x)]?e2[f(x).因为f(x)?2f?(x)?0，?2f?(x)]2f(0)所以F'(x)?0,则F(x)在定义域上单调递增，所以F(1)?F(0),则f(1)?，即答案为A.
e例 3 已知f(x)为定义在(??,??)上的可导函数，且f(x)?f?(x)对于x?R恒成立且e为自然对数的
底，则（ ）
2012?f(0) B. f(1)?e?f(0),f(2012)?e2012?f(0) A. f(1)?e?f(0),f(2012)?e2012?f(0) D. f(1)?e?f(0),f(2012)?e2012?f(0) C. f(1)?e?f(0),f(2012)?ef?(x)ex?f(x)ex[f?(x)?f(x)]exf(x)?)0x)?f(x?，解析：设F(x)?x，则F'(x)?.由f(x)?f?(x)，得f(?ee2xe2x则F'(x)?0,F(x)在定义域上单调递减，所以F(1)?F(0),F(2012)?F(0)即答案为A.
例4 定义在(0,A. 3f()??2)上的函数f(x)，f?(x)是它的导函数，且恒有f(x)?f?(x)tanx成立，则（ ）
?42f() B. f(1)?2f()sin1 C. 2f()?f() D. 3f()?f()
366463??????解析：因为x?(0,?2)，所以sinx?0，cos?0.由f(x)?f?(x)tanx，得f(x)cosx?f?(x)sinx?0
设F(x)?f?(x)sinx?f(x)cosxf(x)，则F'(x)?，可得F'(x)?0,则F(x)在定义域上单调递减， sinxsin2x所以F()?F(),则3f()?2f()，即答案为A.
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3.导数的运算法则与构造的思路分析 爱因斯坦赞叹：“数学美，本质上终究是简单性”. 那又如何构造出函数，将问题简单化，这在数学上是一个值得深究的问题.
仔细的观察和思考例1和例2的解法，它们有一个共同点：采用导数的积运算法则，即[f(x)g(x)]'?f?(x)g(x)?g'(x)f(x). 例3和例4的解法，它们也有一个共同点：采用导数的商运算法则，即[f(x)f?(x)g(x)?g'(x)f(x)]'?.由此可见，对于含有f(x)和f?(x)的不等式，将不等式的右边g(x)g2(x)化0，若左边是?(x)f(x)和?(x)f?(x)相加得形式，其中?(x)和?(x)常见的变量或常量. 此时用导数的积运算法则；若左边是?(x)f(x)和?(x)f?(x)相减得形式，此时用导数的商运算法则.当然，这只是做题的起初思想，但是要做出试题，还远远不行，而问题的关键在构造函数.
波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律.”根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活的运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解法顺利的完成。以下给出例1至例4的方法技巧
例1中，f(x)?xf?(x)?0，根据导数的积运算法则得(箭头指向方向为函数的导函数，后面不做说明)
1?f(x)+x?f?(x)<0 可以看出f(x)的导数为f?(x)，x的导数为1，从而构造出函数
F(x)?xf(x).
例2中，f(x)?2f?(x)?0，根据导数的积运算法则得
1?f(x)+2?f?(x)<0 可以看出f(x)的导数为f?(x)，2的导数为1，显然不成立. 则不等
式两边定约去了一个不为0的变量. 函数和本身的导函数有相同的变量，则猜想到函数y?e. 但这里还要考虑系数1和2，进一步猜想 到复合函数y?e1x2x. 给上述不等式两边同乘以e1x21x2，则
e1x2?f(x)+2e?f?(x)<0 从而构造出函数F(x)?2e1x2?f(x).
例3中，f?(x)?f(x)?0，根据导数的商运算法则得
ex?f?(x)?ex?fx() ?0 可以看出f(x)的导数为f?(x)，ex的导数为ex，且分母为e2x，从2xef(x)而构造出函数F(x)?x.
e例4 中，可得 f(x)cosx?f?(x)sinx?0且sinx?0，根据导数的商运算法则得
f?(x)sinx?f(x)coxs?0 可以看出f(x)的导数为f?(x)，sinx的导数为cosx，且分母为2sinxf(x)sin2x，从而构造出F(x)?.
sinx对于以上4个例题的不等式可以总结为?(x)f(x)??(x)f?(x)?0和?(x)f(x)??(x)f?(x)?0.这里有所疑问，
当不等式的右边不是0时，那上述的构造函数方法显然不适用. 下面给出一道试题进行研究. 4构造中变化
例6 f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f?(x). 若f(x)?f?(x)?1，f(0)?2016，则不等式
f(x)?2015?ex?1的解集.
分析： 数学变式题的给出，都离开最初的原题. 借助例1至例6构造函数的方法，找出函数与本身导函数的关系. 并根据[f(x)?c]'?f?(x)，从而可以解答试题. 因为f(x)?f?(x)?1， 所以[f(x)?1]?[f(x)?1]'?0. 这里把f(x)?1看做一个整体，再由例4知，
f(x)?1[f(x)?1]'ex?[f(x)?1]ex{[f(x)?1]'?[f(x)?1]}ex设F(x)?，则F'(x)?，得F'(x)?0，则F(x)在R上为?exe2xe2xf(x)?1单调递增.因为F(0)?f(0)?1?2015，f(x)?2015?ex?1，所以?2015
exf(x)?2015?ex?1的解集(0,??).
5.常见构造类型： ①利用③利用
f(x)f(x)n,②利用F(x)?xf(x),F(x)?nx x
xf(x)和e构造 ④利用f(x)与函数sinx,cosx构造 f(x)与x构造，xf(x)，
实践表明，对于含有?(x)f(x)和?(x)f?(x)抽象函数的不等式，问题的本质在于巧妙地构造出原函数，这是解决问题的最有力的武器. 在构造过程中，必须掌握导数的相关知识，多加练习并反思，积累做题方法和技巧，提高解题能力，开阔视野，不断探索，通过观察、分析、对比、总结等一系列思维活动，简化试题结构，掌握所学的基本知识和方法.
用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数
