2019届中考数学 圆的切线证明综合试题 新人教版
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒ ⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=90. ∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC.
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∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90. ∴∠1+∠EAC=90. 即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
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证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线，
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∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
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∴∠E+∠BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=90
即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切
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说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.
∵OB=OD， ∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切
D 证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=90 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=90. 即OD⊥DM. ∴DM是⊙O的切线
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C 说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 证明：连结OC、BC. ∵OA=OC， ∴∠A=∠1=∠30.
∴∠BOC=∠A+∠1=60. 又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC.
D 0
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0
∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好. 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 证明：连结OC
∵OA=OD·OP，OA=OC， ∴OC=OD·OP，
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OCOP?. ODOC 又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=90. ∴PC是⊙O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
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∴BC⊥CD，△CFG是Rt△ ∵O是FG的中点， ∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G， ∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
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∠ADE=∠CDE=45， ∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=90, ∴∠1+∠2=90. 即CE⊥OC.
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∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足. ∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.
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又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS） ∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切， ∴DE⊥AB. ∵AB=AC，BD=CD， ∴∠1=∠2.
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