【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x． 在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（
．
﹣4． ﹣4）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22， 所以（解得x＝
﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22， ﹣2．
．
则FC＝4﹣x＝6﹣故答案为6﹣
．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
14．（3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 16 个小立方块．
【分析】根据表面积不变，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个． 【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：
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故答案为：16
【点评】本题主要考查了几何体的表面积．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点． 【解答】解：如图，△ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．（8分）（1）化简：
÷（
﹣2n）；
（2）解不等式组，并写出它的正整数解．
【分析】（1）按分式的运算顺序和运算法则计算求值； （2）先确定不等式组的解集，再求出满足条件的正整数解．
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【解答】解：（1）原式＝＝＝
×；
÷
（2）
由①，得x≥﹣1， 由②，得x＜3．
所以该不等式组的解集为：﹣1≤x＜3． 所以满足条件的正整数解为：1、2．
【点评】本题考查了分式的混合运算、不等式组的正整数解等知识点．解决（1）的关键是掌握分式的运算法则，解决（2）的关键是确定不等式组的解集．
17．（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否． 【解答】解：这个游戏对双方不公平． 理由：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种， 故小明获胜的概率为：
＝，则小刚获胜的概率为：
＝，
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∵≠，
∴这个游戏对两人不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
18．（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：
9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9． 在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表： 睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况 组别 1 2 3 4
睡眠时间分组 7≤t＜8 8≤t＜9 9≤t＜10 10≤t＜11
人数（频数）
m 11 n 4
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ 7 ，n＝ 18 ，a＝ 17.5% ，b＝ 45% ；
（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 3 组（填组别）；
（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．
【分析】（1）根据40名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；
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（2）由中位数的定义即可得出结论；
（3）由学校总人数×该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果． 【解答】解：（1）7≤t＜8时，频数为m＝7； 9≤t＜10时，频数为n＝18； ∴a＝
×100%＝17.5%；b＝
×100%＝45%；
故答案为：7，18，17.5%，45%；
（2）由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数， ∴落在第3组； 故答案为：3；
（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800×
＝440（人）；
答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人．
【点评】本题考查了统计图的有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息．
19．（6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．
（参考数据：sin32°≈tan42°≈
）
，cos32°≈
，tan32°≈，sin42°≈
，cos42°≈，
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，于是得到CE∥DF，推出四边形CDFE是矩形，得到EF＝CD＝120，DF＝CE，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，
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2019年山东省青岛市中考数学试卷（含答案解析）
