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38．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； （2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2HG+HC的最小值．
，点H是BD上的一个动点，求
39．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；
（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．
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40．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
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数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2016?）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴E为AC中点， ∴AE=EC， ∵CF∥BD， ∴∠ADE=∠F， 在△ADE和△CFE中， ∵
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
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∴DE=FE． 故选B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F，判定三角形的全等．
2．（2016?）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6， ∴AC=
=
=10，
∵DE是△ABC的中位线， ∴DF∥BM，DE=BC=3， ∴∠EFC=∠FCM， ∵∠FCE=∠FCM， ∴∠EFC=∠ECF，
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∴EC=EF=AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=8． 故选B．
【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
3．（2016?来宾）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
，DF=
，DE∥BF，DF∥BE，可知四
【分析】由中位线的性质可知DE=
边形BEDF为平行四边形，从而可得周长．
【解答】解：∵AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线， ∴DE=
=2，DF=
=3，DE∥BF，DF∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF的周长为：2×2+3×2=10，
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初中数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)
