四川省泸县第五中学2024届高三数学上学期开学考试试题 理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合A??x|log2x?1?，集合B??y|y?2?x?，则AB?（ ）
A．???,2?
B．???,2?
C．?0,2?
D．?0,???
2．已知复数z满足i?z?3?2i（i是虚数单位），则z=（ ） A．2?3i
B．2?3i
C．? 2?3i
D．? 2?3i
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A．
23 B．
43 C．83
D．3
4．在等差数列?an?中,a1?2,a3?a5?10，则a7?（ ） A．5
B．8
C．10
D．14
5．设f?x?是定义在R上周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??x2?x，则f??5???2???（A．?14 B．?112 C．
14 D．
2 6．设D为?ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（ ）
）A．BO??51AB?AC 66B．BO?11AB?AC 6211AB?AC 62C．BO?51AB?AC 66D．BO??7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A．乙、丁可以知道自己的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩
B．乙可以知道四人的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
8．已知a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是（ ） A．a??，b//?，???
B．a??，b??，?//?
C．a??，b??，?//? D．a??，b//?，???
9．已知向量a与b的夹角为60?，a=2，b=5，则2a?b在a方向上的投影为( )
A．?3 2B．
3 2C．2
D．
5 222210．已知M是抛物线x?4y上一点，F为其焦点，C为圆(x?1)?(y?2)?1的圆心，则
|MF|?|MC|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
x2y211．已知M为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右支上一点，A,F分别为双曲线C的左顶点和右
ab焦点，线段FA的垂直平分线过点M，?MFA?60?，则双曲线C的离心率为( )． A．5 B．2
C．3
D．4
12．已知a1，a2,a3,a4??1,2,3,4?，N?a1,a2,a3,a4?为a1,a2,a3,a4中不同数字的种类，如
N(11，，2，3)?3，N(1，2，2，1)?2，求所有的256个?a1,a2,a3,a4?的排列所得的N?a1,a2,a3,a4?的平
均值为
A．
87 32B．
11 4C．
177 64D．
175 64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若(x?2n)展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 2x14．圆心在直线2x?y?7?0上的圆C与y轴交于两点A?0,?4?，B?0,?2?，则圆C的方程为______．
15．f(x)?cos2x?a(sinx?cosx)在?0,???单调递增，则a的范围是__________． ?2??xe2x?x16．已知函数g?x????3x?1?e3x?1?e1?3x，则满足g?x??0的实数x的取值范围是xe??________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）设数列?an?是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a1?1，若a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设bn?1(n?N*)nTbT?，设数列的前项和，证明：． ??2nnnan?14?1118．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位
顾客消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金． （Ⅰ）经统计，顾客消费额X服从正态分布N?150,625?，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间?100,150?内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）
附：若X~N??,??，则P?????X??????0.6827，P???2??X???2???0.9545.
（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数?的分布列. （III）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法， 方法一：三次A箱内摸奖机会； 方法二：一次B箱内摸奖机会.
请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
19．（12分）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，点E在CC1上且C1E?3EC.
（Ⅰ）证明：A1C?平面BED；
（Ⅱ）求二面角A1?DE?B的余弦值.
20．（12分）已知抛物线C:y2?4x，过点??1,0?的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P. （Ⅰ）证明：点P在x轴上的射影为焦点F；
（Ⅱ）若过点?2,0?的直线l与抛物线C相交于两点A,B，圆M是以线段AB为直径的圆且过点P，求直线l与圆M的方程.
21．（12分）已知函数f(x)?(x?2)(e?ax) . （Ⅰ）当a?0 时，讨论f(x) 的极值情况； （Ⅱ）若(x?1)[f(x)?a?e]?0 ，求a 的值.
x
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?23cos??，其中?为参数，在以坐标原点O??y?2sin???为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为?42,???， 直线l的极坐标方程为4?????sin?????52?0.
4??（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
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