解：
第五章：年金的精算现值 练 习 题
1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算精算现值 ax 。
2．设 ax?10, ax?7.375, Var?aT??50。试求：（1）?；（2）āx 。
2 3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。
2000a23:3637|解：2000a23:36?R37|a23?R?a23
其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1） 终身生存年金。
其中
若查90-93年生命表换算表则
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。
(12)(12)?250*12(a55?1)?250*12[?(12)a55??(12)?1] 解：250*12a551212其中
6． 在UDD假设下，试证： (1) n|ax(m)??(m)n|ax???m?nEx 。
(m) (2) ax??(m)ax:n???m?(1?nEx) 。 :n(m)(m) （3）ax?a?:nx:n1(1?nEx) 。 m 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
N31 D30（1）解：1200a30?(2)(2)?1000(a30?1)?1000[?(2)a35??(2)?1] （2）1000a3022其中
(4)(4)?1000(a30?1)?1000[?(4)a30??(4)?1] （3）1000a3044其中
(12)(12)?1000(a30?1)?1000[?(12)a30??(12)?1] （4）1000a301212其中
8． 试证： (1) (2)
(m)ax??i(m)ax
(m)ax?:n?i(m)ax:n 。
(m)?ax 。 (3) limaxm?? (4) ax?ax? 。
9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。
10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知
ax?10，
122ax?6，i?1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、
8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13. 给定是（ ）
A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82 14. 给定Var(aT)?100及??x?t??k, t?0, 利息强度??4k，则k=（ ） 9(4)Ax?0.1025。已知在每一年龄年UDD假设成立， 则ax(4)a??17.287，
A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020
15. 对于个体（x）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定： ??x?t??0.01,i?0.04,ax?5?4.524, 年金给付总额为S元（不计利息），则
P（S?51ax）值为（ ）
A. 0.82 B. 0.81 C. 0.80 D. 0.83 第六章：期缴纯保费与营业保费 练 习 题
1. 设?x?t???t?0?，利息强度为常数δ，求 P?Ax?与Var(L)。
2. 有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为(40)购买的保额1 500元、年缴保费P的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的给付现值随机变量的方差
与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P的值。
1 3． 已知 P40:20?0.029,P40:20?0.005,P60?0.034,i?6%,求a40 。
4． 已知 P62?0.0374,q62?0.0164,i?6%,求P63。
5． 已知L为(x)购买的保额为1元、年保费为Px:n的完全离散型两全保险，在保单签发时的保险人亏损随机变量，2Ax:n?0.1774,Px:nd?0.5850，计算Var(L)。
6． 已知x 岁的人服从如下生存分布：s?x??105?x (0≤x≤105)，年利率为1056％。对(50)购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险，设L为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P(L≥0)=0.4 。求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。 7. 已知 AX?0.19,2AX?0.064,d?0.057,?x?0.019,，其中?x为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr（Ｚ≤1.645）=0.95，Z为标准正态随机变量。] 8. 1000P20:40?7.00,ax?16.72,a20:40?15.72,计算1000P20 。 9．
P?10|a20??1.5,10P20?0.04,计算P20 。
Px1:20(12)Px1:20 10．已知
。 ?1.03,Px:20?0.04,计算Px(12):20 11． 已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，
d?0.06,Ax?0.4,2Ax?0.2，L是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
保险精算第二版习题及答案
