高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 98
正割函數 y=sec x
因為 sec(x+2π)=sec x,故只要找出 0 到 2π 之間的特殊值,列表如下: x 0 ??? 6432 3? 2 2?3? 345? 6π 5? 43? 27? 2π … 4y 1 2 2 ↗ ↘ 2 -1 -2 -∞ ∞ ∞ -∞ -2 -2 -3↗ ↘ 2 1 …
※正割函數
正割函數 y=sec x 的圖形如圖 16,
圖 16
且正割函數的
???,k為整數?。 (1) 定義域為?x|x為實數且x?+k?2??(2) 值域為{y|y 為實數,y ≥ 1 或 y ≤ -1}。 (3) 週期為 2π。
上述的值域亦可合併表示為{y|y 為實數,|y| ≥ 1}。
高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 99
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1) 將 y=cos x 和 y=sec x 的圖形畫在同一平面上。 (2) 倒數關係
1=sec x 表示當 cos x 是很小的正數時,sec x 會是很大的正數。觀察圖形cosx是否有此現象?
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餘割函數 y=csc x
因為 csc(x+2π)=csc x,故只要找出 0 到 2π 之間的特殊值,列表如下: x 0 y ∞ ↘ 2 ????2?3?5? 34664322 1 232 3π 5? 43? 27? 42π … 2 2 ↗ ↘ ∞ -∞ -2 -1 -2 -∞ ↗ …
※餘割函數
餘割函數 y=csc x 的圖形如圖 17,
圖 17
高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 100
且餘割函數的
(1) 定義域為{ x|x 為實數且 x≠kπ,k 為整數}。 (2) 值域為{ y|y 為實數,y ≥ 1 或 y ≤ -1}。 (3) 週期為 2π。
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1) 將 y=sin x 和 y=csc x 的圖形畫在同一平面上。 (2) 倒數關係
1=csc x 表示當 sin x 是很小的正數時,csc x 會是很大的正數。觀察圖形是sinx否有此現象?
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4 三角函數圖形的平移與伸縮
平移
我們先複習函數圖形平移的一般結果,再練習三角函數圖形的平移問題。
※函數圖形的平移 設 h,k>0。
(1) y=f(x)+k 的圖形是將 y=f(x)的圖形向上平移 k 單位而得。 (2) y=f(x)-k 的圖形是將 y=f(x)的圖形向下平移 k 單位而得。 (3) y=f(x+h)的圖形是將 y=f(x)的圖形向左平移 h 單位而得。 (4) y=f(x-h)的圖形是將 y=f(x)的圖形向右平移 h 單位而得。
例題9 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 試利用 y=sin x 的圖形,畫出下列圖形。
???x?=(2) ysin??。 3?? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1) y=2+sin x。
高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 101
解 (1) y=2+sin x 的圖形為 y=sin x 的圖形向上平移 2 單位而得,圖形如圖 18。
圖 18
注意到週期沒有改變。
????(2) y=sin?x??的圖形為 y=sin x 的圖形向右平移單位而得,圖形如圖 19。
3?3?
圖 19
注意到週期沒有改變。
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1) 利用 y=cos x 的圖形畫出 y=cos x-1 的圖形。
???x?(2) 利用 y=tan x 的圖形畫出 y=tan??的圖形。 2?? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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伸縮
現在我們來討論函數圖形伸縮的性質。設 a>0。若點(x0,y0)落在函數y=f(x)的圖
?x?形上,則點(x0,ay0)會落在函數 y=af(x)的圖形上,而點?0,y0?會落在函數 y=f(ax)
?a?的圖形上。上述結果整理如下:
※函數圖形的伸縮 設 a>0。
(1) y=af(x)的圖形是將 y=f(x)的圖形上每一點的縱坐標都乘上 a 倍而得。
(2) y=f(ax)的圖形是將 y=f(x)的圖形上每一點的橫坐標都乘上
1倍而得。 a
例題10 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 試利用 y=cos x 的圖形,畫出下列圖形。
???(3) y=2 cos?x??。
4?? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 (1) y=2 cos x 的圖形是將 y=cos x 的圖形上每一點的縱坐標都乘上 2 倍而得,圖形如
圖 20。 (1) y=2 cos x。
(2) y=cos 2x。
圖 20