高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 93
(1) x 由 0 增加到(2) x 由
?時，y 由 0 增加到 1， 2?增加到 π 時，y 由 1 減少到 0， 23?時，y 由 0 減少到－1， 2(3) x 由 π 增加到(4) x 由
3?增加到 2π 時，y 由－1 增加到 0。 2 因為 sin（x＋2π）＝sin x，表示函數圖形經過 2π 單位後會重複出現。因此要描繪此函數圖形時，只要畫出 0 ≤ x ≤ 2π 時的圖形即可：亦即2π ≤ x ≤ 4π 時的圖形可由 0 ≤ x ≤ 2π 時的圖形複製而得，其餘範圍依此類推。2π 是使函數 y=sin x 的圖形重複出現的最小正數﹐稱為此函數的週期。另外可看出此圖形在直線 y＝±1 之間擺動，故將此兩條直線距離的一半（也就是 1）稱為正弦函數的振幅。
綜合以上所述，可描繪正弦函數 y＝sin x 的圖形如下：
※正弦函數
正弦函數 y＝sin x 的圖形如圖 11，
圖 11
且正弦函數的
(1) 定義域為{x|x 為實數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。 (3) 週期為 2π。
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餘弦函數 y＝cos x
仿照處理正弦函數的作法，先就特別的 x 值求出函數值，列表如下： x 0 y 1 3?????2? 4643235? 6π 7? 65? 44?3?5?7?11? 2π … 323461 223 1 … 22113212332 0 － － － －1 － － － 0 222222222注意到 cos（x＋2π）＝cos x，故餘弦函數也有週期 2π。
※餘弦函數
餘弦函數 y＝cos x 的圖形如圖 12，
圖 12
且餘弦函數的
(1) 定義域為{x|x 為實數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。 (3) 週期為 2π。
可以看出正弦函數與餘弦函數的圖形非常相似。事實上，由負角關係和餘角關係得
??????cos?x??＝cos??x?＝sin x，
2???2?此式表示 y＝cos x 的圖形向右平移
?單位，就會和 y＝sin x 的圖形重合。 2高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 95
例題8 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 將 y＝sin x 和 y＝cos x 的圖形畫在同一平面上，並利用圖形回答下列各題： (1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，y＝sin x 和 y＝cos x 的圖形有幾個交點？ (2) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，解 sin x＝cos x。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 解 將 y＝sin x 和 y＝cos x 的圖形畫在同一平面上，如圖 13，
圖 13
觀察可得
(1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，兩圖形有 2 個交點。 (2) 上述 2 個交點的 x 坐標是 x＝
5??和 x＝，
445??和 x＝。
44故 sin x＝cos x 在 0 ≤ x ≤ 2π 的解為 x＝
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，何時 sin x ≤ cos x？
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正切函數 y＝tan x
先就特別的 x 值求出函數值，列表如下。注意到 tan（x＋π）＝tan x，因此只要先找出 0 到 π 之間的特殊值。
高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 96
x 0 ? 63 3? 4? 3 ? 22? 33? 45? 63 3π … y 0 1 ↗ 3 ∞ －∞ －3 －1 ↗ －0 … 此處的符號 ∞ 讀作“無限大”，它表示比任何一個實數都大。
※正切函數
正切函數 y＝tan x 的圖形如圖 14，
圖 14
且正切函數的
???，k為整數?。 (1) 定義域為?x|x為實數且x?＋k?2??(2) 值域為{y|y 為實數｝。 (3) 週期為 π。
餘切函數 y＝cot x
因為 cot（x＋π）＝cot x，故只要找出 0 到 π 之間的特殊值，列表如下：
高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 97
x 0 y ∞ ↘ 3 ? 6? 41 ? 33 3? 20 2? 33? 45? 6π … ↘ 3－ －1 －3 －∞ 3 …
※餘切函數
餘切函數 y＝cot x 的圖形如圖 15，
圖 15
且餘切函數的
(1) 定義域為{x|x 為實數且 x≠kπ，k 為整數｝。 (2) 值域為{y|y 為實數｝。 (3) 週期為 π。
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1) 將 y＝tan x 和 y＝cot x 的圖形畫在同一平面上。 (2) 承(1)，兩圖形交點的 x 坐標和 y 坐標各是多少？ (3) 倒數關係
1＝cot x 表示當 tan x 是很小的正數時，cot x 會是很大的正數。觀察圖形tanx是否有此現象？
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08_选修数学甲(上)课本_2-1 一般三角函数的性质与图形[31页]
