高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 83
※銳角三角函數的定義
如圖 4，當 θ 為一銳角，可以畫出一個三內角為 θ，90°－θ，90° 的直角三角形，我們定義 sin θ＝cos θ＝tan θ＝cot θ＝sec θ＝csc θ＝
對邊長，稱為 θ 的正弦，
斜邊長鄰邊長，稱為 θ 的餘弦，
斜邊長對邊長，稱為 θ 的正切，
鄰邊長鄰邊長，稱為 θ 的餘切，
對邊長斜邊長，稱為 θ 的正割，
鄰邊長斜邊長，稱為 θ 的餘割。
對邊長
圖 4
例題2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
??????，cos，tan，cot，sec，csc的值。 666666 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
?解 由＝30°，如圖5，在 30°－60°－90°的直角三角形中，三邊長的比例為 1：3：2，
6故由定義可得 試求 sin
圖 5
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sink1??， cos?62k26?k1?tan??，cot?63k36??3k3， ?2k23k?3， k2k2?2k??2。 ， csc?63k36k隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
sec???的六個三角函數值。 4(2) 直角三角形兩股長為 7 與 24，試求最小角的正割值。
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在例題 2 中雖然 cot θ，sec θ，csc θ 是三個新的三角函數，但在計算上我們常可透過其為 tan θ，cos θ，sin θ 的倒數來輔助計算。
對於廣義角 θ，我們定義 cot θ，sec θ，csc θ 分別為 tan θ，cos θ，sin θ 的倒數，如下：
※廣義角三角函數的定義
設 θ 是一個標準位置角，在角 θ 的終邊上任取一點 P（x，y），x，y 不同時為 0，且(1) 試求
OP?r?x2?y2＞0，如圖 6，則定義角 θ 的六個三角函數值如下：
sin θ＝tan θ＝sec θ＝
y， ry， xr， xx， rx＝， cot θycos θ＝
csc θ＝
r。 y
圖 6
要注意的是，這些函數在分母不為 0 時才有意義，否則視為沒有意義。
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例題3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 試求下列各值：
5?。 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 (1) 在標準位置角 300°的終邊上取一點 P，由 P 點向 x 軸作垂線，垂足為 Q 點，
。 (1) cot 300°(2) sec
如圖 7，則直角三角形 OPQ 中，∠POQ＝60°，設OP＝2，OQ＝1，PQ?3， 則點 P 的坐標為（1，－3）， 故得
cot θ＝
x13。 ???y?33
圖 7
(2) 在標準位置角
5?的終邊上取一點 P，由 P 點向 x 軸作垂線，垂足為 Q 點， 6?如圖 8，則直角三角形 OPQ 中，∠POQ＝，設OP＝2，OQ?3，PQ＝1，則
6點 P 的坐標為（－3，1），故得
sec θ＝
r223。 ???x?33
圖 8
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 試求下列各值：
11?。 。 (1) cot 150°(2) csc
6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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倒數關係
由廣義角三角函數的定義，立刻可得以下倒數關係：
※倒數關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin θ?csc θ＝1。 (2) cos θ?sec θ＝1。 (3) tan θ?cot θ＝1。
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 試利用三角函數的倒數關係，在空格中填入適當的函數名稱或數字： ＝(1) sec 17°
117?。 (2)
14?＝ 。 4?5sin5(3) tan
11?11??cot＝ 。 77 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
商數關係
同樣由廣義角三角函數的定義可得以下的商數關係，當 x，y 均不為 0 時：
yysin?。 (1) tan???r?xxcos?rxxcos?。 (2) cot???r?yysin?r
※商數關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) tan θ＝(2) cot θ＝
sin?。 cos?cos?。 sin?高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 87
同理，亦可求得
sec?csc?＝tan θ，＝cot θ 等商數關係。但上述(1)(2)兩個是最常用 csc?sec?的。
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 試利用三角函數的商數關係，在空格中填入適當的函數名稱：
sin(1)
?15＝ cos??。 1515? sin 143°＝ 143°。 (2) cot 143°
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平方關係
對於任意角 θ，分別計算以下三式，有
x?y2?x2r2?2＋2＝?y?(1) sin θcos θ???????2?1， 2rr?r??r?(2) tan θ＋1＝???2
22y2?x2y??r?＝sec2 θ， ＋＝＝1???x2x??x?y2?x2?r?x?＝＝＝csc2 θ， 2???yy??y?2222?(3) 1＋cot2 θ＝1＋??此三式稱為平方關係。
※平方關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin2 θ＋cos2 θ＝1。 (2) 1＋tan2 θ＝sec2 θ。 (3) 1＋cot2 θ＝csc2 θ。
08_选修数学甲(上)课本_2-1 一般三角函数的性质与图形[31页]
