高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 83
※銳角三角函數的定義
如圖 4,當 θ 為一銳角,可以畫出一個三內角為 θ,90°-θ,90° 的直角三角形,我們定義 sin θ=cos θ=tan θ=cot θ=sec θ=csc θ=
對邊長,稱為 θ 的正弦,
斜邊長鄰邊長,稱為 θ 的餘弦,
斜邊長對邊長,稱為 θ 的正切,
鄰邊長鄰邊長,稱為 θ 的餘切,
對邊長斜邊長,稱為 θ 的正割,
鄰邊長斜邊長,稱為 θ 的餘割。
對邊長
圖 4
例題2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
??????,cos,tan,cot,sec,csc的值。 666666 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
?解 由=30°,如圖5,在 30°-60°-90°的直角三角形中,三邊長的比例為 1:3:2,
6故由定義可得 試求 sin
圖 5
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sink1??, cos?62k26?k1?tan??,cot?63k36??3k3, ?2k23k?3, k2k2?2k??2。 , csc?63k36k隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
sec???的六個三角函數值。 4(2) 直角三角形兩股長為 7 與 24,試求最小角的正割值。
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在例題 2 中雖然 cot θ,sec θ,csc θ 是三個新的三角函數,但在計算上我們常可透過其為 tan θ,cos θ,sin θ 的倒數來輔助計算。
對於廣義角 θ,我們定義 cot θ,sec θ,csc θ 分別為 tan θ,cos θ,sin θ 的倒數,如下:
※廣義角三角函數的定義
設 θ 是一個標準位置角,在角 θ 的終邊上任取一點 P(x,y),x,y 不同時為 0,且(1) 試求
OP?r?x2?y2>0,如圖 6,則定義角 θ 的六個三角函數值如下:
sin θ=tan θ=sec θ=
y, ry, xr, xx, rx=, cot θycos θ=
csc θ=
r。 y
圖 6
要注意的是,這些函數在分母不為 0 時才有意義,否則視為沒有意義。
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例題3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 試求下列各值:
5?。 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 (1) 在標準位置角 300°的終邊上取一點 P,由 P 點向 x 軸作垂線,垂足為 Q 點,
。 (1) cot 300°(2) sec
如圖 7,則直角三角形 OPQ 中,∠POQ=60°,設OP=2,OQ=1,PQ?3, 則點 P 的坐標為(1,-3), 故得
cot θ=
x13。 ???y?33
圖 7
(2) 在標準位置角
5?的終邊上取一點 P,由 P 點向 x 軸作垂線,垂足為 Q 點, 6?如圖 8,則直角三角形 OPQ 中,∠POQ=,設OP=2,OQ?3,PQ=1,則
6點 P 的坐標為(-3,1),故得
sec θ=
r223。 ???x?33
圖 8
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 試求下列各值:
11?。 。 (1) cot 150°(2) csc
6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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倒數關係
由廣義角三角函數的定義,立刻可得以下倒數關係:
※倒數關係
對於任意角 θ,在下列各項均有意義時,有 (1) sin θ?csc θ=1。 (2) cos θ?sec θ=1。 (3) tan θ?cot θ=1。
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 試利用三角函數的倒數關係,在空格中填入適當的函數名稱或數字: =(1) sec 17°
117?。 (2)
14?= 。 4?5sin5(3) tan
11?11??cot= 。 77 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
商數關係
同樣由廣義角三角函數的定義可得以下的商數關係,當 x,y 均不為 0 時:
yysin?。 (1) tan???r?xxcos?rxxcos?。 (2) cot???r?yysin?r
※商數關係
對於任意角 θ,在下列各項均有意義時,有 (1) tan θ=(2) cot θ=
sin?。 cos?cos?。 sin?高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 87
同理,亦可求得
sec?csc?=tan θ,=cot θ 等商數關係。但上述(1)(2)兩個是最常用 csc?sec?的。
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 試利用三角函數的商數關係,在空格中填入適當的函數名稱:
sin(1)
?15= cos??。 1515? sin 143°= 143°。 (2) cot 143°
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平方關係
對於任意角 θ,分別計算以下三式,有
x?y2?x2r2?2+2=?y?(1) sin θcos θ???????2?1, 2rr?r??r?(2) tan θ+1=???2
22y2?x2y??r?=sec2 θ, +==1???x2x??x?y2?x2?r?x?===csc2 θ, 2???yy??y?2222?(3) 1+cot2 θ=1+??此三式稱為平方關係。
※平方關係
對於任意角 θ,在下列各項均有意義時,有 (1) sin2 θ+cos2 θ=1。 (2) 1+tan2 θ=sec2 θ。 (3) 1+cot2 θ=csc2 θ。
08_选修数学甲(上)课本_2-1 一般三角函数的性质与图形[31页]
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