高中選修數學甲(上)課本 2-1 一般三角函數的性質與圖形 78
從前流傳著一則故事，敘述一群士兵在指揮官的口令下以整齊的步伐通過一座吊橋，行進中
吊橋開始劇烈搖晃，乃致斷裂造成傷亡。其實這個現象可以用三角函數的疊合來解釋。本章將完整介紹六個三角函數及其圖形，接著介紹疊合，並用以描述波動等複雜的週期現象，最後我們介紹複數平面，將複數的運算與平面向量的變換結合起來，讓複數具有更豐富的意涵。
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2 三角函數
2-1 一般三角函數的性質與圖形 ●弧度﹑弧長與扇形面積 ●三角函數的定義與基本性質 ●三角函數的圖形
●三角函數圖形的平移與伸縮
2-2 三角函數的應用 ●正﹑餘弦函數的疊合 ●圓﹑橢圓的參數式
2-3 複數的極式與幾何意義 ●複數平面 ●複數的極式 ●棣美弗定理 ●複數的 n 次方根
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2-1一般三角函數的性質與圖形
1 弧度﹑弧長與扇形面積
弧度
在第三冊中介紹了弧度的概念：它是另一個用來度量“角”的單位，定義如下：
※弧度
(1) 若一圓的半徑為 r，則弧長 s 所對應的圓心角 θ 為
sθ＝弧度。
r(2) 弧度與度的關係：
或 π 弧度＝180°。 2π 弧度＝360°
而角度和弧度可利用比例換算如下：
※度與弧度的換算 (1) 1 弧度＝
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 及 －220°化為弧度。 (1) 分別將 50°
(2) 分別將
5? 及 －3 化為度。 6180??。 ＝(2) 1°
?180?弧度。
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弧長與扇形面積
若知道弧度和半徑，就可以求出弧長與扇形面積。如圖 1，已知扇形 COD 的圓心角 ∠COD 為 θ 弧度（0 ≤ θ ≤ 2π），OC＝r。
?的長度： (1) 弧CD
?長度為 s，因為圓心角 2π（一圈） 設弧CD對應的圓周長是 2πr，故有
?s?， 2?2?r則 s＝rθ。
圖 1
(2) 扇形 COD 的面積：
設扇形 COD 的面積為 A。因為圓心角 2π（一圈）所對應的扇形面積（即整個圓）是 πr2，故有
?A1?2得 A＝r2θ。 2??r2
注意此式也可化為 A＝
1rs。 2
※扇形的弧長與面積公式
若圓半徑為 r，扇形 COD 的圓心角∠COD＝θ（弧度），0 ≤ θ ≤ 2π，如圖 2 ，令扇形的弧長為 s，面積為 A，則 (1) s＝rθ。
11(2) A＝r2θ＝rs。
22
圖 2
注意到使用這兩個公式時，θ 都要先化成弧度。
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例題1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 已知一扇形半徑為 12 公分，圓心角為 45°，試求此扇形的弧長及面積。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 如圖 3 ，因 45°＝
?，故弧長為 4s＝rθ ＝12?
?＝3π（公分）， 4 而扇形面積為
A＝
或用 A＝
121?rθ＝?122?＝18π（平方公分）。 2241rs＝18π。 2
圖 3
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 已知一扇形半徑為 6 公分，圓心角為 120°，試求此扇形的弧長及面積。
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2 三角函數的定義與基本性質
三角函數共有六個，第三冊中已經介紹了正弦（sin θ）﹑餘弦（cos θ）及正切（tan θ）這三個函數，在這一段中要再介紹另外三個並整理如下：
08_选修数学甲(上)课本_2-1 一般三角函数的性质与图形[31页]
