高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
第一部分：回顾基础知识点
对数函数的概念: 函数y 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是 （o, +3）. loga x(a
对数函数的图象和性质 在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;
y log 2 x (2) y log! x (1)
2
(3) y log3x (4) y logi x ■0 5
3
-? -1 --
图象特征 函数性质 a 1 函数图象都在y轴右侧 图象关于原点和y轴不对称 向y轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点（1 , 1） 自左向右看， 图象逐渐上升 0 a 1 a 1 函数的定义域为（0，+x） 非奇非偶函数 函数的值域为R 0 a 1 1 1 自左向右看， 增函数 图象逐渐下降 第一象限的图象 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0 纵坐标都大于0 第二象限的图象 x 1, log a x 0 0 x 1, log a x 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 纵坐标都小于 0 0 x 1, loga x 0 x 1, log a x 0 底数a是如何影响函数 log ax 的.
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的 底数逐渐变大
第二部分：对数函数图像及性质应用
例1 ?如图，A , B , C为函数y logi x的图象上的三点，它们的横坐标分别是
t, t+2, t+4(t 1).
2
⑴设 ABC的面积为S。求S=f (t)； ⑵判断函数S=f (t)的单调性;
⑶求S= f (t)的最大值
解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i垂直于x轴，垂足为 Ai,B i ,C i，
则 S=S 梯形 AAiBiB+S 梯形 BB 1C1C — S
梯形 AAiCiC.
l t
2
4t
汽log3(1 J )
6
t2 4t
2
(2)因为v= t
4t在[1,)上是增函数
，且v 5,
上是减函数，且 1
S log 3 u在
上是增函数,
所以复合函数 S=f(t)
Iog3(1
t2
上是减函数
(3)由(2)
知t=1 时，S有最大值, 最大值是
f (1) log 395
9
2
例2 .已知函数f(x -3)=lg
x x2
6
(1)f(x)的定义域；
⑵判断f(x)的奇偶性;
⑶求f(x)的反函数；
“ 2 (x2
3) 3 解：(1 )??? f(x -3)=lg
2
(x 3) 3
,
??? f(x)=lg x—3
2 log 3 5
⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。
得 X2-3>3.
??? f(x)的定义域为2
(3, +
)
(2 )T f(x)的定义域不关于原点对称，
? f(x)为非奇非偶函数
t
x 3
(3 )由 y=lg
x 3
,
y得x=
3(10 1) 10y 1
X>3,解得 y>0, ? f-1(x)=
3(10x
1),
10 x (0)
1
x ⑷?- f[ (3)]=lg
⑶3
ig3.
(3) 3
(3) 3 ⑶3
解得⑶=6
例3.已知x>0,y
0,且 x+2y=
1 ,求 g=log
2
解：由已知x=
-2y>0,
1 2
1 4
出 1 2
由 g=log (8xy+4y
+1)
2
=log (-12y +4y+1)
1 2
2 =log—[-12(y-
1 1 2
—6
)+
2 4 3
— ],
当y= 1 ,g的最小值为
6
log
例4.已知函数f(X) lOga(a
1)
(
4
2
3
x
1 (8xy+4y 2
2
+1)的最小值
求证：(1 )函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2 )函数f(X)图象上任意两点连线的斜率都大于
证明：(1)由 ax 1 0得：ax 1,
???当 a 1 时，x 0, 即函数f (x)的定义域为(0,), 此时函数f (x)的图象在y轴的右侧； 当 0 a 1 时，x 0,
即函数f(x)的定义域为(，0), 此时函数f (x)的图象在y轴的左侧. ?函数f (x)的图象在y轴的一侧;
(2 )设 A(X1, y1)、 B( X2, y2)是函数f (x)图象上任意两点，且
则直线AB的斜率k % y2 X, x2
y1)
aX1 1
1 y2 ioga(aX1 1) loga(aX2 g厂,
1由(1 ) X1
时,
X2
ax aX2,
,
ax 1 aX2
a]
X2
? yy2 又 X1 X2
1
1
由(1 )知
X1 X2 0,
时,
? ax
aX2 1
为 x2,
??? aXl 1 ax2 1 0 a51 1
1,
a^
?- yi
y o ,又 xi X2 0 ,
? k 0.
???函数f (x)图象上任意两点连线的斜率都大于
0 .
第三部分：针对性练习
1 ?函数y=lg (
-1 x
1)的图像关于(
(A) x轴对称 (B ) y轴对称
(C)原点对称
(D)直线y=x对称
2 .函数 y=log
1 (2x
2
-3x+1)的递减区间为
2
(A) (1 ,
(B)(-,
3
4
(D)(-,
3 .将函数y 2x
的图象向左平移一个单位，得到图象 Ci，再将 Ci向上平移一个单位得到图象于直线y=x对称的图象 C3，则C3的解析式为 _________________ .
2
4 ?函数ynlog^x
4x 12)的单调递增区间是 ________________ .
2
5 . 5.若 f(x)=1+log x3, g(x)=2log x2，试比较 f(x)与 g(x)的大小。
2
x
x
6.已知x满足不等式2(log 2x) -7log 2x+3 0,求函数f(x)=log 2 log 2
的最大值和最小
值。
2
4
1 2
C2，作岀C2关
针对性练习答案 1.C
2.A
4 .
3 ? y log 2(X 1) 1 ；
( , 2)；
3X 5.解析：f(x)-g(x)=log x3x-log x4=log x 2 4 4 当 时，f(x)>g(x);当 x= 时，f(x)=g(x); 0
4 4
6.解析：由
3
时，f(x)
2
3
” 1
2
3。
2 (log2X) -7log 2X+3 0 解得 log 2X
x x
??? f(x)=|og 2— log 2 _ (log 2 x
2 4
3
???当log 2x= 时，f(x)取得最小值
1) (log 2X-2)=(log 2X- )- —
2 4
3 2 1
2
当log2x=3时，f(x)取得最大值 2
高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
