数学期望:随机变量最基本得数学特征之一。它反映随机变量平均取值得大小。又称期望或均值。它就是简单算术平均得一种推广。例如
某城市有10万个家庭,没有孩子得家庭有1000个,有一个孩子得家庭有9万个,有两个孩子得家庭有6000个,有3个孩子得家庭有3000个, 则此城市中任一个家庭中孩子得数目就是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0得概率为0。01,取1得概率为0、9,取2得概率为0。06,取3得概率为0、03,它得数学期望为0×0、01+1×0。9+2×0、06+3×0、03等于1、11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个,用数学式子表示为:E(X)=1.11、
也就就是说,我们用数学得方法分析了这个概率性得问题,对于每一个家庭,最有可能它家得孩子为1、11个、
可以简单得理解为求一个概率性事件得平均状况。 各种数学分布得方差就是:
1、 2、
一个完全符合分布得样本 这个样本得方差
概率密度得概念就是:某种事物发生得概率占总概率(1)得比例,越大就说明密度越大、比如某地某次考试得成绩近似服从均值为80得正态分布,即平均分
就是80分,由正态分布得图形知x=80时得函数值最大,即随机变量在80附近取值最密集,也即考试成绩在80分左右得人最多。
下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x),表示概率密度):
离散型分布:二项分布、泊松分布
连续型分布:指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布
抽样分布 抽样分布只与自由度,即样本含量(抽样样本含量)有关 二项分布(binomial distribution):例子抛硬币
1、 重复试验(n个相同试验,每次试验两种结果,每种结果概率恒定————伯努利试验)
2、 P(X=0), P(X=1), P(X=3), ………、所有可能得概率共同组成了一个分布,即二项分布
泊松分布(possion distribution):
1、 一个单位内(时间、面积、空间)某稀有事件 2、 此事件发生K次得概率
3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ………。所有可能得概率共同组成了一个分布,即泊松分布
二项分布与泊松分布得关系:
二项分布在事件发生概率很小,重复次数n很大得情况下,其分布近似泊松分布
均匀分布(uniform distribution): 分为连续型均匀分布与离散型均匀分布 离散型均匀分布: 1、 n种可能得结果
2、 每个可能得概率相等(1/n) 连续型均匀分布:
1、 可能得结果就是连续得 2、 每个可能得概率相等()
连续型均匀分布概率密度函数如下图:
指数分布(exponential distribution):
用来表示独立随机事件发生得时间间隔,比如旅客进机场得时间间隔、中文维基百科新条目出现得时间间隔等等。
指数分布常用于各种“寿命”分布得近似。 1、连续型分布,每个点得概率:
2、无记忆性。已经使用了s小时得元件,它能再使用t小时得概率,与一个从未使用过得元件使用t小时得概率相同。即它对已经使用过得s小时没有记忆。 指数分布得概率密度函数如下图:
正态分布(normal distribution):
又称高斯分布、 1、 2、 3、
描述一个群体得某个指标。 这个指标就是连续得。
每个特定指标在整个群体中都有一个概率()。
4、
所有指标概率共同组成了一个分布,这个分布就就是正态分布。
正态分布得概率密度函数如下图:
中心极限定理:
不论总体得分布形式如何(正态或非正态),只要样本(抽样样本)含量n足够大时,样本均数得分布就近似正态分布,且均数与总体均数相等,标准差为(总体标准差)/(n得开方)。
中心极限定理使得t分布、F分布与X2分布在抽样样本含量很大时不需要对总体样本就是否正态有要求。
t分布(student t distribution):
1、t分布就是以0为中心得一簇曲线,每个自由度决定一个曲线
2、自由度就是一个抽样小样本中得具体观测值得个数(抽样样本含量)-1 3、总体样本呈正态分布(抽样样本含量较小时,要求总体样本呈正态分布,如果抽样样本
含量很大(eg。 n >= 100),由中心极限定理可知抽样样本均数也近似正态分布,因而“差值”得概率也呈正态分布,而t分布得每一条曲线实际上都就是正态分布曲线)
4、从一个总体样本中抽取很多个小样本-——抽样 5、每个小样本都有一个均值
6、每个小样本得均值与总体样本均值有一个差值,这个差值用t估计
7、可能有多个小样本得差值估计都就是t,t出现得次数占所有小样本得比例可以用一个概率衡量
8、所有t值得概率组成一个分布,就就是t分布得一个曲线
9、另外做一个抽样,每个小样本包含得观测值不同,则形成t分布得另外一个曲线 10、自由度越大,则曲线越接近于标准正态分布 11、t分布只与自由度相关
t分布得概率密度函数如下图(v为自由度):
X2分布(chi square distribution):
1、X2分布也就是一簇曲线,每个自由度决定一个曲线
2、自由度就是一个抽样小样本中得具体观测值得个数(抽样样本含量)-1 2、总体样本呈正态分布(抽样样本含量(n)较小时,要求总体样本呈正态分布) 3、从总体样本中抽取n个观测值:z1,z2,z3……———抽样 4、将它们平方后求与,这个与用一个新变量表示,即X2
5、重复抽样并获得多个X2:X12,X22,X32,X42………
6、可能有多次抽样得X2值相同,同一个X2值得抽样次数占总次数得比例可以用一个概率表示
7、所有得概率值共同组成一个分布,就就是X2分布得一条曲线
8、另外做一次,只要从总体中选取观测值数目n不同,得到得就就是另外一条曲线 10、自由度越大,则曲线越接近于标准正态分布 11、X2分布只与自由度相关
X2分布得概率密度函数如下图(n在这里为自由度):
F分布(F—distribution):
1、F分布也就是一簇曲线,每对自由度决定一个曲线
2、自由度就是一个抽样小样本中得具体观测值得个数(抽样样本含量)-1 2、两总体样本方差比得分布
3、总体样本呈正态分布(抽样样本含量(n)较小时,要求总体样本呈正态分布) 4、从总体样本中抽取两个样本, 两个样中得观测值数目可相同也可不同,分别记为n1与n2 5、分别计算出X2:X1,X2 6、构建一个新变量F:
7、重复抽取样本,计算多个F值:F1,F2,F3…….。
8、可能有多次抽样得F值相同,同一个F值得抽样次数占总次数得比例可以用一个概率表示
9、所有得概率值共同组成一个分布,就就是F分布得一条曲线
10、另外做一次,只要从总体中选取观测值数目n不同,得到得就就是另外一条曲
线
10、两个自由度越大,则曲线越接近于标准正态分布 11、F分布只与自由度相关
F分布得概率密度函数如下图(m,n在这里为自由度):
【在推估总体平均值时,基于样本平均数得抽样分布】—— t分布
【在用样本方差来推估总体方差时,必须知道样本方差得抽样分布】— X2分布 【比较两个总体得方差就是否相等时,必须知道样本方差得联合抽样分布】— F分布
生存分析(survival analysis):
1、多种影响慢性疾病得因素(不同手术方法、不同药物………) 2、随访一群患者
3、一段时间后统计生存与死亡
3、最终给出得结果就是一个评价各种因素对生存时间得影响(生存时间、生存率有无差异)
贝叶斯公式(bayes formula):
1、 描述两个条件概率之间得关系———P(Bi|A)与P(A|Bi),A为事件,Bi 为一个划分
2、 P(Bi|A)=P(A|Bi)*P(Bi)/P(A) 或者
3、
瞧图理解
全概率公式(full probability formula):
1、描述一个特定事件得概率与条件概率间得关系
2、 P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + 、。。 + P(A|Bn)*
P(Bn) 3、 瞧图理解
数学分布(泊松分布二项分布正态分布均匀分布指数分布)+生存分析+贝叶斯概率公式+全概率公式
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