第四章 分离变量法、本征函数法
在讨论有界区域具有齐次边界条件的数学物理问题时可寻求变量分离形式的解，这就是分离变量法.
§2.4.1一维有界区域齐次方程齐次边界条件
混合问题的分离变量法
以弦的横振动为例，设弦长为l，两端固定的一维自由振动的混合问题是
?utt(x,t)?a2uxx(x,t),(0?x?l,t?0)?(t?0) ?u(0,t)?0,u(l,t)?0,?u(x,0)??(x),u(x,0)??(x),(0?x?l)t?由于边界条件是齐次的，因此设问题有变量分离形式的解： u(x,t)?X(x)T(t)，
这里X(x)与变量t无关，T(t)与变量x无关，将它代入方程，分离变量得到
T??(t)aT(t)2?X??(x)X(x)，
这是一个恒等式，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，而x,t是两个无关的独立变量，所以这个等式只能是常数，记为??，于是有
T??(t)aT(t)2?X??(x)X(x)???，
从而得到两个常微分方程：
- 1 -
T??(t)??aT(t)?0,X??(x)??X(x)?02,
对齐次边界条件也有,
X(0)T(0)?0,X(l)T(t)?0,
由于求非零解，所以T(t)?0，只有，X(0)?0,到关于X(x)的施斗姆-刘维尔本征值问题：
?X??(x)??X(x)?0??X(0)?0,X(l)?0X(l)?0，由此就得
，
（1）??0不是本征值.
（2）??0，得X(x)?Ax?B，A,B为待定常数，由X(0)?0得B=0，
由X(l)?0得Al=0，l?0,所以A=0，表明??0也不是本征值. （3）当??0时，方程的通解为
X(x)?Ccos?x?Dsin?x 由X(0)?0得C=0；由X(l)?0得关于?的方程 Dsin?l?0
由于求问题的非零解，所以D?0.只有sin的可列个本征值：
?l?0，从而得到问题
?n?n?l,(n?1,2,3,...) 即 ?n?(n?l),(n?1,2,3,... )2对应的本征函数（把非零常数D省去）有
- 2 -
Xn(x)?sinn?xl,(n?1,2,3,...)
现将本征值?n?(n?l)2代入关于T(t)的方程得到
n?al)Tn(t)?02Tn??(t)?(，
这是一个二阶的常系数线性齐次方程，它的通解为
Tn(t)?Cncosn?atl?Dnsinn?atl，
从而得到变量分离状态的解，称之为驻波： un(x,t)?Xn(x)Tn(t)?(Cncosn?atl?Dnsinn?atl)sinn?xl.
从这里可以看出，为什么我们在本征函数Xn(x)把D取成1呢？事实上是不失一般性的，无非是将D并入系数Cn,Dn中而已. 现在要求满足初始条件的解，一般而言，这可列个驻波解并不满足初始条件，为使得到满足初始条件的混合问题的解，按照叠加原理，将可列个驻波解叠加得到
??u(x,t)??n?1(Cncosn?atl?Dnsinn?atl)sinn?xl.
于是由u(x,0)??(x)得
?? ?(x)??n?1Cnsinn?xl.
注意到本征函数系?sin??n?x??l?n?1,2,3...，在?0,l?上是正交的完全的函数
- 3 -
系，且sinn?xl?l2,(n?1,2,3...)，故而有
Cn?2ll??(?)sin0n??ld?,n?1,2,3...
同理由ut(x,0)??(x)有
?? ?(x)??n?1n?allDnsinn?xl
所以 Dn?2n?a??(?)sin0n??ld?,n?1,2,3...
因此分离变量法又叫傅立叶解法.
分离变量法是将偏微分方程与边界条件要分离变量，所以方程与边界条件都应是齐次的.在求解过程中会得到施斗姆-刘维尔本征值问题，由此确定可列个本征值与相应的本征函数系，这是分离变量法的核心问题.
例1. 长为l的均匀细杆，侧面是绝热的，杆的x?0端保持为零度，另一端x?l按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设外界温度恒为零度，已知杆的初始温度分布是?(x)，求杆上的温度u(x,t).
这个问题归结为下列的混合问题：
?ut(x,t)?a2uxx(x,t),(0?x?l,t?0)??u?u(0,t)?0,(?hu)?0, ??xx?l???u(x,0)??(x),- 4 -
这里一维热传导方程是齐次的，边界条件是齐次的，所以设
u(x,t)?X(x)T(t)
（1）代入方程和边界条件，分离变量后得到施斗姆-刘维尔本征值问题：
?X??(x)??X(x)?0 ??X(0)?0,X(l)?hX(l)?0?和常微分方程
T?(t)??a2T(t)?0;
（2）解本征值问题
由方程得 X(x)?Ccos?x?Dsin?x,
由X(0)?0得C=0；由X?(l)?hX(l)?0得 D(?cos?l?hsin?l)?0,
为了得到非零解，D?0，得到关于?的超越方程：tan令???l，有超越方程 tan????l???h,
?hl. 于是得到可列个正根?n上面
?hl方程的正根是正切曲线y?tan?与直线y??交点的横坐标，显然
有可列个(n?1,2,3...)，因此得到本征值（可列个）
?n?(?nl),2(n?1,2,3...)
- 5 -
数学物理方法第二篇第4章
