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任意四边形、梯形与相似模型
模型四 相似三角形模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
AEAFDDBFGEC
BGC
ADAEDEAF①； ???ABACBCAG②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
如图，已知在平行四边形ABCD中，AB?16，AD?10，BE?4，那么FC的长【例 1】
度是多少？
DCFABE
【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，
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所以BF:FC?BE:CD?4:16?1:4，所以FC?10?4?8． 1?4
【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？
BE
【解析】 有一个金字塔模型，所以DE:AB?DC:AC，DE:15?40:60，所以DE?10厘米。
如图，DE平行BC，若AD:DB?2:3，那么S△ADE:S△ECB?________。 【例 3】
ADBEA0D10203040C5060
C【解析】 根据金字塔模型
S△ADE:S△ABC?22:52?4:25，
AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:(2?3)?2:5，
设S△ADE?4份，则S△ABC?25份，S△BEC?25?5?3?15份，所以
S△ADE:S△ECB?4:15。
如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB， 【例 4】
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? 。
ADFBEGC【解析】 设S△ADE
?1份，根据面积比等于相似比的平方，
所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9，因此
S△AFG?4份，S△ABC?9份，
进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5
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【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长。
ADBE
【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10
【巩固】如图， △ABC中， PQ，FG，MN，BC互相平行，DE，AD?DF?FM?MP?PB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB? 。
ADFMEGCNQCPB
【解析】 设S△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此S△AFG?4份，进而有
S四边形DEGF?3份，同理有S四边形FGNM?5份，S四边形MNQP?7份，S四边形PQCB?9份．
所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9
【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。
【例 5】 已知△ABC中，若AD:DB?2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，DE平行BC，
求S△ABC。
ADBE
C【解析】 根据金字塔模型AD:AB?DE:BC?2:(2?3)?2:5，
S△ADE:S△ABC?22:52?4:25，设S△ADE?4份，则S△ABC?25份，S梯形DBCE?25?4?21份，S梯形DBCE比S△ADE大17份，恰好是8.5cm2，所以S△ABC?12.5cm2
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如图：MN平行BC， S△MPN:S△BCP?4:9，AM?4cm，求BM的长度 【例 6】
AMPBCN
【解析】 在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP?4:9，所以MN:BC?2:3，在金字塔模型中有： AM:AB?MN:BC?2:3，因为AM?4cm，AB?4?2?3?6cm，所以
BM?6?4?2cm
【巩固】如图，已知DE平行BC，BO:EO?3:2，那么AD:AB?________。
ADBOCE
【解析】 由沙漏模型得BO:EO?BC:DE?3:2，再由金字塔模型得
AD:AB?DE:BC?2:3．
11【例 7】 如图，?ABC中，AE?AB，AD?AC，ED与BC平行，?EOD的面积是1
44平方厘米。那么?AED的面积是 平方厘米。
AEODBC【解析】 因为AE?11AB，AD?AC，ED与BC平行， 44根据相似模型可知ED:BC?1:4，EO:OC?1:4，S?COD?4S?EOD?4平方厘米， 则S?CDE?4?1?5平方厘米，
15又因为S?AED:S?CDE?AD:DC?1:3，所以S?AED?5??(平方厘米)．
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【例 8】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面
积的几倍？
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CFCBOADBOAD
【解析】 连接BC，易知OA∥EF，根据相似三角形性质，可知OB:OD?AE:AD，且
OA:BE?DA:DE?1:2，所以VCDO的面积等于VCBO的面积；由
11CDO的面积是OA?BE?AC可得CO?3OA，所以SVCDO?SVCBO?3SVABO，即V24VABO面积的3倍。
【例 9】 如图，线段AB与BC垂直，已知AD?EC?4，BD?BE?6，那么图中阴影部分
面积是多少？
EADADOBADEC
BEC
OB
【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴
看看．
作辅助线BO，则图形关于BO对称，有SVADO?SVCEO，SVDBO?SVEBO，且
SVADO:SVDBO?4:6?2:3．
设VADO的面积为2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份． 因为SVABE?6?10?2?30，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为30?8?4?15．
解法二：连接DE、AC．由于AD?EC?4，BD?BE?6，所以DE∥AC，根据相似三角形性质，可知DE:AC?BD:BA?6:10?3:5，
EC根据梯形蝴蝶定理，SVDOE:SVDOA:SVCOE:SVCOA?32:?3?5?:?3?5?:52?9:15:15:25， 所以S阴影:S梯形ADEC??15?15?:?9?15?15?25??15:32，即S阴影?15S梯形ADEC； 321115又S梯形ADEC??10?10??6?6=32，所以S阴影?S梯形ADEC?15．
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【例 10】
(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形
小学奥数-几何五大模型（相似模型）
