第三章 中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一、填空题
函数y?lnsinx在?, 二、选择题(单选)
1．设f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则?：f(a)?f(b)与??：在(a, b)内
??5??上满足罗尔定理的?值是 ． ??66?f?(x)?0之间的关系是
(A) ?是??的充分但非必要条件； (B) ?是??的必要但非充分条件；
(C) ?是??的充分必要条件； (D) ?不是??的充分条件，也不是??的必要条件．
答：( ) 2．设f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则?：在(a, b)内，f?(x)?0与??：在[a, b]上f(x)?f(a)之间的关系是
(A) ?是??的充分但非必要条件． (B) ?是??的必要但非充分条件．
(C) ?是??的充分必要条件． (D) ?不是??的充分条件，也不是??的必要条件．
答：( ) 三、不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根．
四、试证明下列各题
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1．设f(x)在[a, b]上取正值且可微分，证明必有??(a, b)，使ln
f(b)f?(?)?(b?a)． f(a)f(?)2．若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2?
x3?b，证明：在(x1, x3)内至少有一点?，使f??(?)?0．
3．设0?a?b， f(x)在[a, b]上可导， 试证明存在?(a???b)， 使
f(b)?f(a)?? f?(?)lnb． a
第二节 洛必达法则
一、选择题(单选)
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设f(x)，g(x)在x0的某去心邻域内可导，g?(x)?0，且适合limf(x)?0及
x?x0x?x0limg(x)?0，则?：limx?x0f(x)f?(x)??与??：lim??的关系是
x?x?0g(x)g(x)(A) ?是??的充分但非必要条件； (B) ?是??的必要但非充分条件；
(C) ?是??的充分必要条件； (D) ?不是??的充分条件，也不是??的必要条件．
二、试解下列各题
1．limax?xax?ax?a (a>0, a?1)． 2．lim1x?0(x2?1xtanx)．
tan(ex?2?ex2?43．lim)x?tan2．
x??2tan 4．sinx．
xlim?0?x
答：( )
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高等数学(同济五版)第三章-微分中值定理与导数的应用-练习题册
