小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。
例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？
解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l； 过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知d?d1?d2 2又由椭圆的第二定义可知
|AF||BF|?e?e即|AF|?|BF|?e(d1?d2) d1d2又?d?d2|AB||AF|?|BF||AB|??e?1且0?e?1?d?故直线与圆相离 2222x2y2??1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求例5、已知点M为椭圆
25165|MA|?|MF1|的最小值
35分析：应如何把|MF1|表示出来
3a225??，作MD?l1于点D，记d?|MD| 解：左准线l1：x??c3由第二定义可知：
|MF1|c335?e?? ? |MF1|?d ? d?|MF1| da553故有|MA|?5|MF1|?|MA|?d?|MA|?|MD| 325 3所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1?即|MA|?528|MF1|的最小值是
33变式1：3|MA|?5|MF1|的最小值； 解：3|MA|?5|MF1|?3(|MA|?
528|MF1|)?3??28 3326 / 73
3|MA|?|MF1|的最小值； 5D 33532828解：|MA|?|MF1|?(|MA|?|MF1|)?? ?553535变式2：
巩固练习
FM A 1．已知 是椭圆
离为_____________．
上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．
答案：1． 课后作业
2．1或2
1.例题5的两个变式；
2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ，
的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ， ，
由椭圆定义有 ，所以 ，则 ，
中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为 ， ，所求椭
圆方程为 思考：
．
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1．方程2(x?1)2?(y?1)2?|x?y?2|表示什么曲线？
(x?1)2?(y?1)222?解：??1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数
2|x?y?2|22（且该常数小于1）?方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2?P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|?|P2F|???|P7F|= 解法一：e?c35?，设Pi的横坐标为xi，则xi??5?i不妨设其焦点为左焦点 a54|PiF|a2353c3?e??得|PiF|?e(xi?)?a?exi?5??(?5?i)?2?i 由
c544da53|P1F|?|P2F|???|P7F|?2?7?(1?2???7)?35
4解法二：由题意可知P1和P7关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知
|P1F|?|P7F|?2a，同理可知|P2F|?|P6F|?2a，|P3F|?|P5F|?2a，|P4F|?a
故|P1F|?|P2F|???|P7F|?7a?35 教学反思
板书设计
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2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用
日期：
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x2y2性质一：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中
ab?F1PF2??,则S?F1PF2?b2tan?2。
2?(2c)2?F1F22?PF1?PF2?2PF1PF2cos?2?(PF1?PF2)2?2PF1PF2(1?cos?) ?PF1PF2?(PF1?PF2)2?4c22(1?cos?)4a2?4c22b2 ??2(1?cos?)1?cos??S?F1PF21b2??PF1PF2sin??sin??b2tan 21?cos?2x2y2性质二：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形
abPF1F2，若?F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1?a?exo，PF1?a?exo 在?F1PF2中，cos??PF1?PF1?F1F22PF1PF2222?(PF1?PF2)2?2PF1PF2?4c22PF1PF2
4a2?4c24b22b2 ??1??1=2?1 222PF1PF22(a?exo)(a?exo)a?exo2?a2 ??a?x0?a ?xo
x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中
ab?F1PF2??,则cos??1?2e2.
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证明：设PF1?r1,PF2?r2,则在?F1PF2中，由余弦定理得：
r12?r22?F1F2(r1?r2)2?2r1r2?4c22a2?2c2 cos?????1
2r1r22r1r22r1r22a2?2c22a2?2c22?1??1?1?2e. 命题得证。 ?2r1?r222a2()2x2y2（2000年高考题）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点
abP,使得?F1PF2?1200,求椭圆的离心率e的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos120?1?2e.即?于是得到e的取值范围是?0221?1?2e2 , 2?3?,1?. ??2?x2y2性质四：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，
ab?PF1F2??,?PF2F1??,则椭圆的离心率e??PF1F2??,?PF2F1??,
由正弦定理得：
sin(???)。
sin??sin?F1F2sin(180o????)?PF2sin?
?PF1sin?
由等比定理得：
F1F2sin(???)?PF1?PF2sin??sin?而
F1F2sin(???)?PF1?PF2csin(???)2a2c， ∴e??。 ?asin??sin?sin(???)sin??sin?sin??sin?已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．
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人教版高中数学选修2-1优秀全套教案
