第2讲 三角恒等变换与解三角形
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 正、余弦定理的应2019 用·T17 全国卷Ⅱ 倍角公式、同角三角函数基本关系式·T10 全国卷Ⅲ 正、余弦定理的应用、三角形的面积公式·T18 二倍角公式及余弦定正、余弦定理的应2018 用·T17 理·T6 同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15 正、余弦定理、三角形的面积公式2017 及两角和的余弦公式·T17 二倍角公式·T4 三角形的面积公式及余弦定理·T9 余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17 余弦定理、三角形的面积公式·T17 (1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现. (2)若无解答题,一般在选择题或填空题各有一题,主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般,一般出现在第4~9或第13~15题位置上.
(3)若以解答题命题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第17题(或18题)位置上,难度中等.
考点一 三角恒等变换
[大稳定——常规角度考双基]
2sin 47°- 3sin 17°
1.[化简求值]=( )
cos 17°A.-3 C.3
B.-1 D.1
sin 47°-sin 17°cos 30°sin?17°+30°?-sin 17°cos 30°
解析:选D 原式=2×=2×=2sin
cos 17°cos 17°30°=1.故选D.
π0,?,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) 2.[条件求值](2019·全国卷Ⅱ)已知α∈??2?1
A. 5C.3 3
B.D.
5 525 5
解析:选B 由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin α·cos α=2cos2α. π
0,?,∴ 2sin α=cos α.又∵ sin2α+cos2α=1, ∵ α∈??2?π15
0,?,∴ sin α=. ∴ sin2α=.又α∈??2?55故选B.
3.[给值求角]已知sin α=5π
A. 12πC. 4
ππ
解析:选C ∵0<α<,0<β<,
22ππ
∴-<α-β<.
22∵sin(α-β)=-
105
,sin α=, 105
510,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于( ) 510
π
B. 3πD.
6
31025
∴cos(α-β)=,cos α=,
105∴cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =
253105?210?×+×-=, 5105?10?2
π
∴β=.故选C.
4
3π
2x+?-3cos x的最小值为4.[与三角函数结合](2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin?2??________.
3π
2x+?-3cos x 解析:∵ f(x)=sin?2??
=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1, 令t=cos x,则t∈[-1,1],
317t+?2+, ∴ f(x)=-2t2-3t+1=-2??4?8
3
又函数f(x)图象的对称轴t=-∈[-1,1],且开口向下,∴ 当t=1时,f(x)有最小值-
44.
答案:-4
[解题方略] 三角函数求值的类型及方法
解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进给角求值 行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一给值求值 般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的 实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角给值求角 的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围 [小创新——变换角度考迁移]
43
cos θ-?+?sin θ-?i是纯虚1.[与复数交汇](2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z=?5??5??π
θ-?的值为( ) 数(i为虚数单位),则tan??4?A.-7 C.7
1
B.-
71
D.-7或- 7
解析:选A
?cos θ-5=0,
由复数z为纯虚数,得?3
sin θ-≠0,?5
4
?即?3
sin θ≠,?5
4cos θ=,
5
又sin2θ+cos2θ=1,
π3
tan θ-tan --1
44π33
θ-?=所以sin θ=-,所以tan θ=-,于是tan?==-?4?54π3??1+tan θ tan-
41+?4?×17.故选A.
ππ3
-,?,函数f(x)=sin(x+α)-sin(x-α)-2sin 2.[与不等式交汇]已知tan 2α=,α∈??22?4π
α-?的值为( ) α,且对任意的实数x,不等式f(x)≥0恒成立,则sin??4?
A.-C.-
25
523
5
B.-D.-
5 53 5
2tan α331
解析:选A 由tan 2α=,即=,得tan α=或tan α=-3.又f(x)=sin(x
431-tan2 α4+α)-sin(x-α)-2sin α=2cos xsin α-2sin α≥0恒成立,所以sin α≤0,tan α=-3,sin α=-
π31ππ25α-?=sin αcos-cos αsin=-,cos α=,所以sin?.故选A. ?4?4451010
π
α-?=________. 3.[与向量交汇]设向量a=(cos α,-1),b=(2,sin α),若a⊥b,则tan??4?π
α-?解析:∵a=(cos α,-1),b=(2,sin α),a⊥b,∴2cos α-sin α=0,∴tan α=2,∴tan??4?π
tan α-tan 2-141===.
π1+2×13
1+tan α·tan
4
1
答案:
3
考点二 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算
[例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2
=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若2a+b=2c,求sin C.
[解] (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. b2+c2-a21
由余弦定理得cos A==.
2bc2因为0°<A<180°,所以A=60°.
(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即312
cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-. 222
因为0°<C<120°,所以sin(C+60°)=故sin C=sin[(C+60°)-60°]
=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=[解题方略] 正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理; (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理. [注意] 应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”. 题型二 利用正、余弦定理进行面积计算
A+C
[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin
2=bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
A+CA+C
[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sin
22=sin B.
A+CB
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
22BBB
故cos=2sincos. 222
BB1
因为cos≠0,所以sin=,所以B=60°.
222
6+2
. 42, 2
6+2
【最新推荐】2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案:第二层提升篇 专题一三角函数与解三角形第
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)