第2讲 三角恒等变换与解三角形
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 正、余弦定理的应2019 用·T17 全国卷Ⅱ 倍角公式、同角三角函数基本关系式·T10 全国卷Ⅲ 正、余弦定理的应用、三角形的面积公式·T18 二倍角公式及余弦定正、余弦定理的应2018 用·T17 理·T6 同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15 正、余弦定理、三角形的面积公式2017 及两角和的余弦公式·T17 二倍角公式·T4 三角形的面积公式及余弦定理·T9 余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17 余弦定理、三角形的面积公式·T17 (1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现． (2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．
(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．
考点一 三角恒等变换
[大稳定——常规角度考双基]
2sin 47°－ 3sin 17°
1.[化简求值]＝( )
cos 17°A．－3 C．3
B．－1 D．1
sin 47°－sin 17°cos 30°sin?17°＋30°?－sin 17°cos 30°
解析：选D 原式＝2×＝2×＝2sin
cos 17°cos 17°30°＝1.故选D.
π0，?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) 2.[条件求值](2019·全国卷Ⅱ)已知α∈??2?1
A. 5C.3 3
B．D．
5 525 5
解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos2α. π
0，?，∴ 2sin α＝cos α.又∵ sin2α＋cos2α＝1， ∵ α∈??2?π15
0，?，∴ sin α＝. ∴ sin2α＝.又α∈??2?55故选B.
3.[给值求角]已知sin α＝5π
A. 12πC. 4
ππ
解析：选C ∵0<α<，0<β<，
22ππ
∴－<α－β<.
22∵sin(α－β)＝－
105
，sin α＝， 105
510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( ) 510
π
B． 3πD．
6
31025
∴cos(α－β)＝，cos α＝，
105∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝
253105?210?×＋×－＝， 5105?10?2
π
∴β＝.故选C.
4
3π
2x＋?－3cos x的最小值为4.[与三角函数结合](2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin?2??________．
3π
2x＋?－3cos x 解析：∵ f(x)＝sin?2??
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1， 令t＝cos x，则t∈[－1,1]，
317t＋?2＋， ∴ f(x)＝－2t2－3t＋1＝－2??4?8
3
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴ 当t＝1时，f(x)有最小值－
44.
答案：－4
[解题方略] 三角函数求值的类型及方法
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进给角求值 行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一给值求值 般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角给值求角 的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 [小创新——变换角度考迁移]
43
cos θ－?＋?sin θ－?i是纯虚1.[与复数交汇](2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝?5??5??π
θ－?的值为( ) 数(i为虚数单位)，则tan??4?A．－7 C．7
1
B．－
71
D．－7或－ 7
解析：选A
?cos θ－5＝0，
由复数z为纯虚数，得?3
sin θ－≠0，?5
4
?即?3
sin θ≠，?5
4cos θ＝，
5
又sin2θ＋cos2θ＝1，
π3
tan θ－tan －－1
44π33
θ－?＝所以sin θ＝－，所以tan θ＝－，于是tan?＝＝－?4?54π3??1＋tan θ tan－
41＋?4?×17.故选A.
ππ3
－，?，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin 2.[与不等式交汇]已知tan 2α＝，α∈??22?4π
α－?的值为( ) α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin??4?
A．－C．－
25
523
5
B．－D．－
5 53 5
2tan α331
解析：选A 由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x
431－tan2 α4＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－
π31ππ25α－?＝sin αcos－cos αsin＝－，cos α＝，所以sin?.故选A. ?4?4451010
π
α－?＝________. 3.[与向量交汇]设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan??4?π
α－?解析：∵a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan??4?π
tan α－tan 2－141＝＝＝.
π1＋2×13
1＋tan α·tan
4
1
答案：
3
考点二 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算
[例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2
＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若2a＋b＝2c，求sin C.
[解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a21
由余弦定理得cos A＝＝.
2bc2因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即312
cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 222
因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝故sin C＝sin[(C＋60°)－60°]
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝[解题方略] 正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理； (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． 题型二 利用正、余弦定理进行面积计算
A＋C
[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin
2＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
A＋CA＋C
[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．因为sin A≠0，所以sin
22＝sin B.
A＋CB
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
22BBB
故cos＝2sincos. 222
BB1
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
222
6＋2
. 42， 2
6＋2
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