高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案
（含解析）新人教A版必修4
考试标准
课标要点 向量加法的定义及其几何意义 向量加法的交换律与结合律 相反向量的概念 向量减法的定义及其几何意义 知识导图 学考要求 b b a b 高考要求 b b a b 学法指导
1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为
背景引入．而向量的减法运算是通过类比实数的减法运算引入的．
2．由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题．
第1课时 向量加法运算及其几何意义
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫作向量的加法． 2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则
→→→→
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，则向量AC叫→→→
作a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线→
OC就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
状元随笔 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
→→→
如图所示：AC ＝AB＋AD(平行四边形法则)， →→→→→
又∵BC ＝AD，∴AC ＝AB ＋BC(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
→→→→
2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系
→→→→→→→→→
(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋→
|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
→→→→→→→→→→
(2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
→→→→→→→→
(3)当向量a与b反向时，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且→→→→|a＋b|＝|b|－|a|.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＋0＝a.( ) (2)a＋b＝b＋a.( )
(3)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.( ) →→→
(4)AB＋BA＝2AB.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
→→
2．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，则a＋b等于( ) →→A.CA B.BC →→C.AB D.AC →→→解析：AB＋BC＝AC. 答案：D
3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) →→A.AB＝DC →→→B.AD＋AB＝AC →→→C.AB＝BD＋AD →→D.AD＋CB＝0
→→→→→
解析：因为AB＝AD＋DB≠BD＋AD，故C错误． 答案：C
4．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( ) A．a∥b，且a与b方向相同 B．a、b是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b无论什么关系均可
解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确． 答案：A
类型一 已知向量作和向量
例1 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【解析】 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内→→→→
任取一点O，作向量OA＝a，接着作向量AB＝c，则得向量OB＝a＋c，然后作向量BC＝b，则向→
量OC＝a＋b＋c为所求．
① ②
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②， →→
(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b； →
(2)作平行四边形AOBC，则OC＝a＋b； →
(3)再作向量OD＝c；
→→→
(4)作平行四边形CODE，则OE＝OC＋c＝a＋b＋c.即OE即为所求. 利用三角形法则或,平行四边形法则 →先作出两个向量,的和向量 →再作出三个向量的和向量 方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
→→→→→
解析：方法一 如图(1)，在平面内作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b；再作BC＝c，则OC＝
a＋b＋c.
→→
方法二 如图(2)，在平面内作OA＝a，OB＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，→
则OD＝a＋b；
→→
再作OC＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则OE＝a＋b＋c.
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则． 类型二 向量的加法运算 例2 化简： →→(1)BC＋AB； →→→(2)AO＋BC＋OB； →→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.
→→→→→
【解析】 (1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC. →→→→→→(2)AO＋BC＋OB＝AO＋OB＋BC →→→＝AB＋BC＝AC.
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案(含解析)新人教A版必修4
