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2010年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，则CUM=（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x＜﹣1，或x＞3} D．{x|x≤﹣1，或x≥3} 【考点】补集及其运算． 【专题】集合．
【分析】由题意全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算． 【解答】解：因为集合M={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}，全集U=R， ∴CUM={x|x＜﹣1，或x＜3}． 故选C． 【点评】本题考查集合的补集运算，以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题． 2．（5分）（2010?山东）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果． 【解答】解：由另解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1． 故选B． 【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题． 3．（5分）（2010?山东）在空间，下列命题正确的是（ ） A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案． 【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误． 平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误． 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误． 故选D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题． 4．（5分）（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】奇函数．
【专题】函数的性质及应用．
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【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．
【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（0）=20+2×0+b=0， 解得b=﹣1，
所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3， 故选A．
【点评】本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．
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5．（5分）（2010?山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）=（ ） A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.977 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】概率与统计． 【分析】画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果． 【解答】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称， 而P（ξ＞2）=0.023， 则P（ξ＜﹣2）=0.023， 故P（﹣2≤ξ≤2）=1﹣P（ξ＞2）﹣p（ξ＜﹣2）=0.954， 故选：C． 【点评】本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解． 6．（5分）（2010?山东）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ） A．
B． C． D．2 【考点】极差、方差与标准差． 【专题】概率与统计． 【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1， ∴样本方差为S2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2， 故选：D． 【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键． 7．（5分）（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（ ） A．
B． C． D．
【考点】定积分在求面积中的应用． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1] 所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═
，
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故选A．
【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积． 8．（5分）（2010?山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】排列组合． 【分析】由题意知甲的位置影响乙的排列，甲在第一位和甲不在第一位，对于排列有影响要分两类：
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一类为甲排在第一位共有A4种，另一类甲排在第二位共有A3A3种，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列 ∴要分两类：一类为甲排在第一位共有A44=24种， 另一类甲排在第二位共有A31A33=18种， ∴故编排方案共有24+18=42种， 故选B． 【点评】本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理，分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”． 9．（5分）（2010?山东）设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】等比数列． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】首项大于零是前提条件，则由“q＞1，a1＞0”来判断是等比数列{an}是递增数列． 【解答】解：若已知a1＜a2，则设数列{an}的公比为q， 因为a1＜a2，所以有a1＜a1q，解得q＞1，又a1＞0， 所以数列{an}是递增数列；反之，若数列{an}是递增数列， 则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2， 所以a1＜a2是数列{an}是递增数列的充分必要条件． 故选C
【点评】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题． 10．（5分）（2010?山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大
值和最小值分别为（ ） A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，3 【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察最值． 【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示， 可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时， 目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；
当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，
目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故选A．
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【点评】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x﹣4y的几何意义是解答好本题的关键． 11．（5分）（2010?山东）函数y=2x﹣x2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象与图象变化． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f（﹣2）符号加以解决即可． 【解答】解：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C； 当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D， 所以选A． 【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力． 12．（5分）（2010?山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令A．若与共线，则⊙=0 B．⊙=⊙ C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙） D．（⊙）2+（）2=||2||2 ，下面说法错误的是（ ） 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据题意对选项逐一分析．若与共线，则有因为对于C，
，而，所以有，故A正确； ，故选项B错误， ⊙=λqm﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，
对于D，（⊙）2+（得到答案． ）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；
【解答】解：对于A，若与共线，则有对于B，因为对于C，
，而
⊙=λqm﹣λpn，而
，所以有
，故A正确；
，故选项B错误，
⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，
对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；
故选B．
【点评】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
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13．（4分）（2010?山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为 ．
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： xy是否继续循环 循环前10∥ 第一圈104是 第二圈41是 第三圈1﹣是 第四圈﹣﹣否 故输出y的值为故答案为： ． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 14．（4分）（2010?山东）若对任意x＞0，【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】根据x+≥2代入【解答】解：∵x＞0， ∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号）， ∴
=≤=，即的最大值为， 中求得的最大值为进而a的范围可得． ≤a恒成立，则a的取值范围是 a≥ ．
故答案为：a≥
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题． 15．（4分）（2010?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=则角A的大小为
．
，b=2，sinB+cosB=
，
【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理． 【专题】解三角形．
【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．
【解答】解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，
2010年山东省高考数学试卷（理科）答案与解析
