∴∴
＝，
＝，
∴PD＝5， ∴AP＝5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝4， 过P作PG⊥AB于G， 则PG＝4， ∵AD＝BD＝10， ∴∠PAG＝∠B， ∵∠AGP＝∠C＝90°， ∴△AGP∽△BCA， ∴∴
＝
，
＝，
，
∴AP＝4
当半径为4的⊙P与△ABC的AC边相切， 过P作PM⊥AC于M， ∴PM＝4， ∴∴＝∴AP＝
， ， ，
或4
，
综上所述，AP的长为5或故答案为：5或
或4
．
三．解答题（共9小题）
10．【解答】解：（1）证明：连结OC，如图1，
∵
，
∴∠FAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠FAC＝∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD，
∴CD是圆O的切线； （2）连结BC，如图，
∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵
＝
＝
，
∴∠BOC＝×180°＝60°， ∴∠BAC＝30?， ∴∠DAC＝30?，
在Rt△ADC中，CD＝∴AC＝2CD＝
，
，
在Rt△ACB中，BC＝∴AB＝2BC＝16， ∴⊙O的半径为8．
AC＝＝8，
11．【解答】（1）证明：∵在⊙O中，AD平分角∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴BD＝CD；
（2）证明：连接半径OD，如图1所示： 则OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA，
∵DE⊥AC于E，在Rt△ADE中， ∴∠EAD+∠ADE＝90°， 由（1）知∠EAD＝∠BAD，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，即∠ODA+∠ADE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线；
（3）解：过点D作DF⊥AB于F，如图2所示： 则DF＝DE＝∵AB＝4， ∴半径OD＝2， 在Rt△ODF中，OF＝∴∠ODF＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形， ∴OF＝FB＝1，
∴AF＝AB﹣FB＝4﹣1＝3， 在Rt△ADF中，AD＝
＝
＝2
．
＝
＝1，
，
12．【解答】（1）证明：连接OE， ∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO， ∵AC⊥AB， ∴∠CAD＝90°， ∴∠CAE+∠EAO＝90°， ∴∠CEA+∠AEO＝90°， 即∠CEO＝90°， ∴OE⊥CD， ∴CE为⊙O的切线； （2）解：设OF＝x， ∵∠OAF＝30°，OF⊥AF， ∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：解得x＝2， ∴OA＝4， ∴
，
，
∵∠AOE＝120°，AO＝4； ∴∴
．
，
13．【解答】（1）证明：连接OA，OD． ∵点D是弧BE的中点， ∴∠BOD＝∠EOD＝90°， ∴∠ODF+∠OFD＝90° 又∵∠OFD＝∠AFC， ∴∠ODF+∠AFC＝90° 又∵AC＝FC， ∴∠AFC＝∠CAF， ∵OA＝OD， ∴∠ODF＝∠OAF， ∴∠OAF+∠CAF＝90°， 即∠OAC＝90°， 故AC是⊙O的切线；
（2）解：过点B作BG⊥AD于G， ∵∠BOD＝90°，OB＝OD＝R＝5， ∴
∵点D是弧BE的中点， ∴∠BAD＝45°， ∵∠AGB＝90°，
，
2020年中考数学复习难点突破：切线的判定和性质（附答案）
